Zéro d'une fonction holomorphe entière

B2Olomophe · February 2019

Salut à tous !

Si une fonction holomorphe entière à une infinité de 0, la suite des 0 converge-t-elle nécessairement vers $+\infty$ ?
On pourrait imaginer une suite de 0 sous la forme $n \sin(n)$.

Math Coss · February 2019

Je ne comprends pas bien la question : tu le vois vers où, $+\infty$, dans $\C$ ?

La suite $(-n\pi)_{n\in\Z}$, qui couvre la moitié des zéros du sinus, elle tend vers $+\infty$, pour toi ? Et la suite des zéros du sinus hyperbolique (ou de $z\mapsto \sin(\mathrm{i}z)$) ?

Poirot · February 2019

Soit $Z$ l'ensemble des zéros d'une fonction entière $f$. On suppose $Z$ non vide. Si $f$ est constante, $Z=\mathbb C$. Sinon, si $Z$ était borné, il serait compact, et les zéros de $f$ s'accumuleraient...

reuns · February 2019

@B2Olomophe : Peux-tu indiquer clairement ce que tu ne comprends pas. Tes questions sont des conséquences de base des propriétés des fonctions analytiques, donc des multiples réponses qu'on t'a faites.

- Si $f$ a une infinité de zéros sur $|z| \le R$ alors ces zéros ont un point d'accumulation $a$ et $f$ ne peut donc pas être analytique et non-nulle en $z=a$.

Preuve : si $f$ est analytique en $z=a$ alors $f(z) = \sum_{k=0}^\infty c_k (z-a)^k $ si $f$ est non-constante alors avec $K$ les premier indice $\ge 1$ tel que $c_K \ne 0$ on obtient $f(z)= f(a)+c_K(z-a)^K + O((z-a)^{K+1})$ qui ne s'annule pas sur $0 < |z| < \epsilon$.

Les histoires de pôles et zéros isolés d'une fonction méromorphe fonctionnent exactement pareil.

- Donc si $f$ est entière et a une infinité de zéros $a_k$ alors $|a_k| \to \infty$.

B2Olomophe · February 2019

@Math Coss : C'est évidemment en module.
Ok je vois, je vais tenter de vous expliquer mieux mon problème, merci à tous pour vos réponses.

C'est pour l'écriture, en produit infini de facteurs de Weierstrass * une exponentielle d'une fonction, d'une fonction entière. La démonstration est simple.
1) On prouve que lorsqu'on a une suite infinie de complexes qui converge vers $+\infty$ (en module) alors on peut l'écrire comme un produit de facteurs Weierstrass * z^{n} (pour compter les 0).
2) Pour cette étape je lis qu'il est suffisant de supposer que $f$ a un nombre infini de $0$ (on admet le cas fini trivial) et on applique le 1) à cette suite de $0$. Puis le quotient ne s'annule pas dans un domaine simplement connexe, exponentielle et fin.

Du coup l'hypothèse le module diverge semble acquise ! J'ai proposé une suite de $0$ du genre $n*\sin(n)$ pour vous montrer mes doutes, je ne prétends pas qu'il existe une suite de fonctions holomorphes avec ces zéros ^^.

Je suis d'accord avec vous, dans ce $Z(f)$ ne peut pas être borné.