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Fonction lipschitzienne

Envoyé par ccapucine 
Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
Bonjour,
comment voir que la fonction $f(x)=\sqrt{x}$ n'est [pas] lipschitzienne ?

Bien cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
avatar
Bonsoir,

la fonction $x\mapsto \dfrac{\sqrt{x}}{x}$ n'est pas bornée car... on en déduit donc que...
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
Une fonction qui n'est pas bornée n'est pas lipschitzienne?
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
Salut !

Attention à bien lire ce que te propose Bbidule. Il ne s'agit pas de montrer que f n'est pas bornée, mais qu'une certaine autre fonction ne l'est pas. Lis alors la définition de fonction lipschitzienne et essaie de voir le lien ;)
Dom
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
J'ajoute un complément. Mais c'est un peu la même chose (on tourne autour du pot pour ne pas trop te donner la réponse) :

Quand on regarde la définition d'une fonction lipschitzienne, on a "il existe $k$ tel que pour tout $x$, pour tout $y$...".
Si on suppose $x\neq y$, on peut alors diviser par $|x-y|$ et s'interroger sur le quotient ainsi formé...

Si c'est obscur, laisse tomber mon bazar winking smiley
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
Ok je vois. Il faut en fait voir que pour tout $k>0$, il existe $y_1, y_2$ tels que $\dfrac{\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}}{|y_1-y_2|} \geq k$. Toutefois je ne vois pas ce qui nous permet de dire que ce quotient n'est pas borné confused smiley

Cordialement



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par ccapucine.
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
Pourquoi, "pour tout $k$" ???

$f$ est lipschitzienne si ...

Cordialement.
Dom
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
À moins qu’il ne s’agisse d’une tentative (erronée si je ne me trompe pas) de négation de ce qu’est une fonction lipschitzienne...
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
J'ai fait une erreur dans l'inégalité. C'est la négation de lipschitzienne je viens de corriger.
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
Ok.

Alors si tu penses à la dérivée en 0, tu trouves tout de suite ....

NB : Tu aurais pu comparer ce que tu écrivais avec ce que te disait Bbidule au début !
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
La fonction $\sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0, mais c'est quoi la relation avec Lipschitsz. En effait si la dérivée d'une fonction n'est pas continue ou pas bornée cela n'implique pas qu'elle n'est pas lipschitzienne, par exemple la valeur absolue.
Par quoi on peut voir qu'une fonction n'est pas lipschitzienne?

Cordialement
Dom
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
S’interroger justement sur le caractère borné de la dérivée (si elle existe) au voisinage de $0$, en ce qui nous concerne ici.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Dom.
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
ici la dérivée de $\sqrt{x}$ est $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ et elle n'est pas bonée en 0 car quand $x \to 0$, $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$.
Est-ce que la dérivée est non bornée implique automatiquement que a fonction n'est pas lipschitzienne? Mais si la dérivée n'est pas continue alors cela n'implique pas forcément que la fonction n'est pas lipschitzienne?

Cordialement
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
Ccapucine,

aurais-tu oublié la définition du nombre dérivé ? Avec cette définition, le lien avec Lipschitz pour une fonction dérivable est assez évident. Tu n'as pas quelque chose là dessus dans ton cours ?

Cordialement.
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
Comme d'habitude, si tu prenais la peine de revoir les définitions de dérivée comme limite des taux d'accroissement et de fonction lipschitzienne, tu verrais immédiatement le lien entre les deux, qui te permettrait de conclure ici. Bbidule t'as tout écrit dans sa première réponse !
Re: Fonction lipschitzienne
il y a huit mois
avatar
Bonjour ccapucine,
Le quotient $\dfrac{\sqrt x}x$ n’est autre que $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$ !
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