Attention à bien lire ce que te propose Bbidule. Il ne s'agit pas de montrer que f n'est pas bornée, mais qu'une certaine autre fonction ne l'est pas. Lis alors la définition de fonction lipschitzienne et essaie de voir le lien
J'ajoute un complément. Mais c'est un peu la même chose (on tourne autour du pot pour ne pas trop te donner la réponse) :
Quand on regarde la définition d'une fonction lipschitzienne, on a "il existe $k$ tel que pour tout $x$, pour tout $y$...".
Si on suppose $x\neq y$, on peut alors diviser par $|x-y|$ et s'interroger sur le quotient ainsi formé...
Ok je vois. Il faut en fait voir que pour tout $k>0$, il existe $y_1, y_2$ tels que $\dfrac{\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}}{|y_1-y_2|} \geq k$. Toutefois je ne vois pas ce qui nous permet de dire que ce quotient n'est pas borné :-S
La fonction $\sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0, mais c'est quoi la relation avec Lipschitsz. En effait si la dérivée d'une fonction n'est pas continue ou pas bornée cela n'implique pas qu'elle n'est pas lipschitzienne, par exemple la valeur absolue.
Par quoi on peut voir qu'une fonction n'est pas lipschitzienne?
ici la dérivée de $\sqrt{x}$ est $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ et elle n'est pas bonée en 0 car quand $x \to 0$, $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$.
Est-ce que la dérivée est non bornée implique automatiquement que a fonction n'est pas lipschitzienne? Mais si la dérivée n'est pas continue alors cela n'implique pas forcément que la fonction n'est pas lipschitzienne?
aurais-tu oublié la définition du nombre dérivé ? Avec cette définition, le lien avec Lipschitz pour une fonction dérivable est assez évident. Tu n'as pas quelque chose là dessus dans ton cours ?
Comme d'habitude, si tu prenais la peine de revoir les définitions de dérivée comme limite des taux d'accroissement et de fonction lipschitzienne, tu verrais immédiatement le lien entre les deux, qui te permettrait de conclure ici. Bbidule t'as tout écrit dans sa première réponse !
Réponses
la fonction $x\mapsto \dfrac{\sqrt{x}}{x}$ n'est pas bornée car... on en déduit donc que...
Attention à bien lire ce que te propose Bbidule. Il ne s'agit pas de montrer que f n'est pas bornée, mais qu'une certaine autre fonction ne l'est pas. Lis alors la définition de fonction lipschitzienne et essaie de voir le lien
Quand on regarde la définition d'une fonction lipschitzienne, on a "il existe $k$ tel que pour tout $x$, pour tout $y$...".
Si on suppose $x\neq y$, on peut alors diviser par $|x-y|$ et s'interroger sur le quotient ainsi formé...
Si c'est obscur, laisse tomber mon bazar ;-)
Cordialement
$f$ est lipschitzienne si ...
Cordialement.
Alors si tu penses à la dérivée en 0, tu trouves tout de suite ....
NB : Tu aurais pu comparer ce que tu écrivais avec ce que te disait Bbidule au début !
Par quoi on peut voir qu'une fonction n'est pas lipschitzienne?
Cordialement
Est-ce que la dérivée est non bornée implique automatiquement que a fonction n'est pas lipschitzienne? Mais si la dérivée n'est pas continue alors cela n'implique pas forcément que la fonction n'est pas lipschitzienne?
Cordialement
aurais-tu oublié la définition du nombre dérivé ? Avec cette définition, le lien avec Lipschitz pour une fonction dérivable est assez évident. Tu n'as pas quelque chose là dessus dans ton cours ?
Cordialement.
Le quotient $\dfrac{\sqrt x}x$ n’est autre que $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$ !