Fonction lipschitzienne

ccapucine
ccapucine
dans Analyse
Bonjour,
comment voir que la fonction $f(x)=\sqrt{x}$ n'est [pas] lipschitzienne ?

Bien cordialement.

Réponses

  • Bbidule
    Bbidule
    Bonsoir,

    la fonction $x\mapsto \dfrac{\sqrt{x}}{x}$ n'est pas bornée car... on en déduit donc que...
  • ccapucine
    ccapucine
    Une fonction qui n'est pas bornée n'est pas lipschitzienne?
  • Ramufasa
    Ramufasa
    Salut !

    Attention à bien lire ce que te propose Bbidule. Il ne s'agit pas de montrer que f n'est pas bornée, mais qu'une certaine autre fonction ne l'est pas. Lis alors la définition de fonction lipschitzienne et essaie de voir le lien ;)
  • Dom
    Dom
    J'ajoute un complément. Mais c'est un peu la même chose (on tourne autour du pot pour ne pas trop te donner la réponse) :

    Quand on regarde la définition d'une fonction lipschitzienne, on a "il existe $k$ tel que pour tout $x$, pour tout $y$...".
    Si on suppose $x\neq y$, on peut alors diviser par $|x-y|$ et s'interroger sur le quotient ainsi formé...

    Si c'est obscur, laisse tomber mon bazar ;-)
  • ccapucine
    ccapucine
    Ok je vois. Il faut en fait voir que pour tout $k>0$, il existe $y_1, y_2$ tels que $\dfrac{\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}}{|y_1-y_2|} \geq k$. Toutefois je ne vois pas ce qui nous permet de dire que ce quotient n'est pas borné :-S

    Cordialement
  • gerard0
    gerard0
    Pourquoi, "pour tout $k$" ???

    $f$ est lipschitzienne si ...

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    À moins qu’il ne s’agisse d’une tentative (erronée si je ne me trompe pas) de négation de ce qu’est une fonction lipschitzienne...
  • ccapucine
    ccapucine
    J'ai fait une erreur dans l'inégalité. C'est la négation de lipschitzienne je viens de corriger.
  • gerard0
    gerard0
    Ok.

    Alors si tu penses à la dérivée en 0, tu trouves tout de suite ....

    NB : Tu aurais pu comparer ce que tu écrivais avec ce que te disait Bbidule au début !
  • ccapucine
    ccapucine
    La fonction $\sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0, mais c'est quoi la relation avec Lipschitsz. En effait si la dérivée d'une fonction n'est pas continue ou pas bornée cela n'implique pas qu'elle n'est pas lipschitzienne, par exemple la valeur absolue.
    Par quoi on peut voir qu'une fonction n'est pas lipschitzienne?

    Cordialement
  • Dom
    Dom
    S’interroger justement sur le caractère borné de la dérivée (si elle existe) au voisinage de $0$, en ce qui nous concerne ici.
  • ccapucine
    ccapucine
    ici la dérivée de $\sqrt{x}$ est $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ et elle n'est pas bonée en 0 car quand $x \to 0$, $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$.
    Est-ce que la dérivée est non bornée implique automatiquement que a fonction n'est pas lipschitzienne? Mais si la dérivée n'est pas continue alors cela n'implique pas forcément que la fonction n'est pas lipschitzienne?

    Cordialement
  • gerard0
    gerard0
    Ccapucine,

    aurais-tu oublié la définition du nombre dérivé ? Avec cette définition, le lien avec Lipschitz pour une fonction dérivable est assez évident. Tu n'as pas quelque chose là dessus dans ton cours ?

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    Comme d'habitude, si tu prenais la peine de revoir les définitions de dérivée comme limite des taux d'accroissement et de fonction lipschitzienne, tu verrais immédiatement le lien entre les deux, qui te permettrait de conclure ici. Bbidule t'as tout écrit dans sa première réponse !
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonjour ccapucine,
    Le quotient $\dfrac{\sqrt x}x$ n’est autre que $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$ !
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