Composition de série entière
Bonjour, j'essaie de faire un exercice sur des séries entières que j'ai trouvé dans le cours d'analyse complexe de Michèle Audin.
Il s'agit dans un premier temps pour deux séries entières de rayon de convergence $>0$, $\sum\limits_{n\geq 0} a_n z^n$, $\sum\limits_{n\geq 1} b_n z^n$, en remarquant que $b_0 = 0$, de montrer que la série $\sum\limits_{n\geq 0} (\sum\limits_{k\geq 1} b_k z^k)^n$ est aussi une série entière.
J'arrive sans trop de soucis à montrer que $ (\sum\limits_{k\geq 1} b_k z^k)^n$ est une série entière, à l'aide du produit de Cauchy et par récurrence.
On aurait alors une série comme ça $\sum\limits_{n\geq 0} (\sum\limits_{k\geq 1} c_k z^k)$, où les $c_k$ sont les coefficients issus des produits de Cauchy.
Je me dis alors que l'on pourrait, dans le disque de convergence, réordonner les termes afin de faire apparaitre une série entière avec des coefficients $\sum_k(\sum_n a^n c^k) z^k$, mais j'ai du mal à voir si ça fonctionne vraiment ..
En plus je trouve que ça sent mauvais car je n'utilise pas le fait que $b_0 =0$.
Auriez-vous des indications à me proposer ?
Il s'agit dans un premier temps pour deux séries entières de rayon de convergence $>0$, $\sum\limits_{n\geq 0} a_n z^n$, $\sum\limits_{n\geq 1} b_n z^n$, en remarquant que $b_0 = 0$, de montrer que la série $\sum\limits_{n\geq 0} (\sum\limits_{k\geq 1} b_k z^k)^n$ est aussi une série entière.
J'arrive sans trop de soucis à montrer que $ (\sum\limits_{k\geq 1} b_k z^k)^n$ est une série entière, à l'aide du produit de Cauchy et par récurrence.
On aurait alors une série comme ça $\sum\limits_{n\geq 0} (\sum\limits_{k\geq 1} c_k z^k)$, où les $c_k$ sont les coefficients issus des produits de Cauchy.
Je me dis alors que l'on pourrait, dans le disque de convergence, réordonner les termes afin de faire apparaitre une série entière avec des coefficients $\sum_k(\sum_n a^n c^k) z^k$, mais j'ai du mal à voir si ça fonctionne vraiment ..
En plus je trouve que ça sent mauvais car je n'utilise pas le fait que $b_0 =0$.
Auriez-vous des indications à me proposer ?
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Réponses
Essaie de voir ce que vaut le terme de degré $0$ dans ta série composée lorsque, par exemple $b_0=1$ ?