Montrer une inégalité

Simeon-urbain · February 2019

Bonjour,
je sais démontrer si tous les nombres sont supérieurs à 1.
Mais pour le [cas] général je lance un sos.
Merci d'avance et pardonnez ma demande d'aide.
Simeon-U 84150

O.G. · February 2019

As-tu essayé l'inégalité de Young ?
$ab\leq \dfrac{a^p}p+\dfrac{b^q}q,\quad \dfrac 1p+\dfrac 1q=1,\ p>1,\ a,b>0.$

totocov · February 2019

Cette inégalité semble fausse : $a_0=0.1$ et $a_1=1/4$ et $\lambda=1.1$ par exemple.

P. · February 2019

C'est tres laid. Pourquoi as tu besoin d'un truc pareil?

O.G. · February 2019

@totocov : il n'y a pas de $a_0$ dans l'énoncé

@P. : ouep point de vue esthétique il y a mieux mais on doit pouvoir trouver plus moche encore

BobbyJoe · February 2019

Etudie pour $k=1,\ldots,n$ et pour $\lambda>1,$ les fonctions $x\mapsto \lambda x^{1-\frac{1}{k}}-x$ sur $\mathbb{R}^{+*}.$
Recherche le maximum des ces fonctions et procède ensuite à une majoration par une somme géométrique. Optimise ensuite en $\lambda>1$ pour conclure.
L'inégalité est dans le mauvais sens au passage!
J'ai joint une version guidée du sujet si tu préfères.

Simeon-urbain · February 2019

merci beaucoup, je vais suivre ces conseil avant de regarder l'aide

merci bonne soirée. S_U

Simeon-urbain · February 2019

c'est vrai il me semble: s=(0,1+0,25).1,1+1,1/0,1>0,1^0+0,25^0,5

Simeon-urbain · February 2019

bonjour j'essaie de résoudre tout ce que je trouve sur le net, souvent je souffre

bonne soirée

Chaurien · February 2019

Ce n'est pas laid comme on dit à Katmandou. Concours général 1989.

totocov · February 2019

@Simeon-urbain : désolé j'ai fait une erreur de manip avec ma calculatrice.

O.G. · February 2019

C'est dans le bon sens (il y a un pdf et un message contradictoires) ?

Sinon c'est juste Young.

Audeo · February 2019

Bonjour, $$s'-\lambda s=\sum_{k=1}^n a_k(a_k^{-1/k}-\lambda).$$ Or, pour tout $1\leq k\leq n$, $$(a_k^{-1/k})^k-\lambda^k=(a_k^{-1/k}-\lambda)\sigma_k \quad \text{avec} \quad \sigma_k=\sum_{j=0}^{k-1}a_k^{-(k-1-j)/k}\lambda^j\geq \lambda^{k-1}$$ donc $$a_k^{-1/k}-\lambda=\frac{a_k^{-1}-\lambda^k}{\sigma_k}\leq\frac{a_k^{-1}}{\lambda^{k-1}}.$$ D'où $$s'-\lambda s\leq\sum_{k=1}^n\frac{1}{\lambda^{k-1}}=\frac{1-(1/\lambda)^n}{1-(1/\lambda)} \quad \text{et} \quad s'<\lambda s+\frac{\lambda}{\lambda-1}.$$.

JLT · February 2019

Cet énoncé me paraît maintenant moins difficile que la première fois que je l'ai vu.

Soit $A$ l'ensemble des $k$ tels que $a_k\leqslant \lambda^{-k}$. Soit $B$ son complémentaire.

On a $\sum_{k\in A} a_k^{1-1/k}<\sum_{k=1}^\infty \lambda^{1-k}=\frac{\lambda}{\lambda-1}$.

D'autre part, $\sum_{k\in B}a_k^{1-1/k}\leqslant \sum_{k\in B}\lambda a_k$ donc $\sum_{k\in B} a_k^{1-1/k}\leqslant \lambda s$.

On conclut en sommant ces deux inégalités.