$\tan(9)-\tan(27)-\tan(63)+\tan(81)=4$ ?
J'ai un certain nombre d'exercices de trigonométrie que j'essaie de faire pour m'entraîner à un examen, que je n'arrive pas à résoudre. Je vais déjà poster le premier, je pense faire des fils de discussions séparés pour chaque exercice, je laisse le soin aux modérateurs de fusionner les fils si c'est mieux.
Donc ici, il faut montrer que $\tan(9) - \tan(27) - \tan(63) + \tan(81) = 4$. (ce sont des degrés, pas des radians, évidemment)
J'ai utilisé le fait que $\tan( \frac{\pi}{2} - x) = \dfrac{1}{\tan(x)}$ pour exprimer $\tan(81)$ en fonction de $\tan(9)$ et $\tan(62)$ en fonction de $\tan(27)$, ce qui donne :
$\tan(9) - \tan(27) - \tan(63) + \tan(81) = \displaystyle \tan(9) + \frac{1}{\tan(9)} - \tan(27) - \frac{1}{\tan(27)}$.
Ensuite, j'ai voulu exprimer $\tan(27)$ en fonction de $\tan(9)$ :
$\tan(27) = \tan(9 + 18) = \displaystyle \frac{\tan(9) + \tan(18)}{1 - \tan(9) \tan(18)}$, et comme $\tan(18) = \displaystyle \frac{2 \tan(9)}{1 - \tan(9)^2}$, on a, après simplification : $\tan(27) = \displaystyle \frac{\tan(9)[3 - \tan(9)^2]}{1 - 3 \tan(9)^2}$.
Mais en essayant de réécrire $\displaystyle \tan(9) + \frac{1}{\tan(9)} - \tan(27) - \frac{1}{\tan(27)}$ en fonction de $\tan(9)$ uniquement, je n'ai pas réussi à obtenir quelque chose d'utile.
Ensuite, je me suis dit que j'allais essayer autre chose en partant toujours de $\displaystyle \tan(9) + \frac{1}{\tan(9)} - \tan(27) - \frac{1}{\tan(27)}$.
On peut l'écrire sous la forme $\displaystyle \frac{\cos(9)^2 + \sin(9)^2}{\cos(9) \sin(9)} - \frac{\cos(27)^2 + \sin(27)^2}{\cos(27) \sin(27)}$, donc $\displaystyle \frac{1}{\cos(9) \sin(9)} - \frac{1}{\cos(27) \sin(27)}$, ce qui me donne :
$\displaystyle \frac{\cos(27) \sin(27) - \cos(9) \sin(9)}{\cos(9) \sin(9) \cos(27) \sin(27)} = \frac{\sin(54) + \sin(0) - \sin(18) - \sin(0)}{2 \cos(9) \sin(9) \cos(27) \sin(27)} = \frac{\sin(54) - \sin(18)}{2 \cos(9) \sin(9) \cos(27) \sin(27)}$.
En regardant ce dénominateur, et mon formulaire de trigonométrie, ça me donne envie d'abandonner. Je ne sais pas laquelle des formules utiliser, quelle somme transformer en produit ou vice-versa... Je ne sais même pas si quoi que ce soit que j'ai fait est le bon chemin pour arriver au résultat.
Help !
Donc ici, il faut montrer que $\tan(9) - \tan(27) - \tan(63) + \tan(81) = 4$. (ce sont des degrés, pas des radians, évidemment)
J'ai utilisé le fait que $\tan( \frac{\pi}{2} - x) = \dfrac{1}{\tan(x)}$ pour exprimer $\tan(81)$ en fonction de $\tan(9)$ et $\tan(62)$ en fonction de $\tan(27)$, ce qui donne :
$\tan(9) - \tan(27) - \tan(63) + \tan(81) = \displaystyle \tan(9) + \frac{1}{\tan(9)} - \tan(27) - \frac{1}{\tan(27)}$.
Ensuite, j'ai voulu exprimer $\tan(27)$ en fonction de $\tan(9)$ :
$\tan(27) = \tan(9 + 18) = \displaystyle \frac{\tan(9) + \tan(18)}{1 - \tan(9) \tan(18)}$, et comme $\tan(18) = \displaystyle \frac{2 \tan(9)}{1 - \tan(9)^2}$, on a, après simplification : $\tan(27) = \displaystyle \frac{\tan(9)[3 - \tan(9)^2]}{1 - 3 \tan(9)^2}$.
Mais en essayant de réécrire $\displaystyle \tan(9) + \frac{1}{\tan(9)} - \tan(27) - \frac{1}{\tan(27)}$ en fonction de $\tan(9)$ uniquement, je n'ai pas réussi à obtenir quelque chose d'utile.
Ensuite, je me suis dit que j'allais essayer autre chose en partant toujours de $\displaystyle \tan(9) + \frac{1}{\tan(9)} - \tan(27) - \frac{1}{\tan(27)}$.
On peut l'écrire sous la forme $\displaystyle \frac{\cos(9)^2 + \sin(9)^2}{\cos(9) \sin(9)} - \frac{\cos(27)^2 + \sin(27)^2}{\cos(27) \sin(27)}$, donc $\displaystyle \frac{1}{\cos(9) \sin(9)} - \frac{1}{\cos(27) \sin(27)}$, ce qui me donne :
$\displaystyle \frac{\cos(27) \sin(27) - \cos(9) \sin(9)}{\cos(9) \sin(9) \cos(27) \sin(27)} = \frac{\sin(54) + \sin(0) - \sin(18) - \sin(0)}{2 \cos(9) \sin(9) \cos(27) \sin(27)} = \frac{\sin(54) - \sin(18)}{2 \cos(9) \sin(9) \cos(27) \sin(27)}$.
En regardant ce dénominateur, et mon formulaire de trigonométrie, ça me donne envie d'abandonner. Je ne sais pas laquelle des formules utiliser, quelle somme transformer en produit ou vice-versa... Je ne sais même pas si quoi que ce soit que j'ai fait est le bon chemin pour arriver au résultat.
Help !
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Réponses
$\tan x+\dfrac1{\tan x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}$
En mettant au même dénominateur, ça se simplifie agréablement.
$\cos(x)\sin(x)=\frac12\sin(2x)$ et $\sin a-\sin b=2\sin\frac{a-b}2 \cos\frac{a+b}2$
Avec mes excuses pour une lecture trop rapide.
$\displaystyle \frac{\sin(54) - \sin(18)}{2 \cos(9) \sin(9) \cos(27) \sin(27)} = \frac{2 \sin(18) \cos(36)}{\sin(18) \cos(27) \sin(27)} = \frac{2 \cos(36)}{\cos(27) \sin(27)} = \frac{4 \cos(36)}{\sin(54)}$.
Ensuite, comme $\sin(54) = \sin(\displaystyle \frac{\pi}{2} - 36) = \cos(36)$, on trouve bel et bien $4$.
Merci ! :-)
PS. On sait que $\tan\left(45°\right)=1$
Et puisque,
\begin{align}\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}
\end{align} Cela permet de donner une expression pour les valeurs de la fonction tangente en les valeurs $\theta=\dfrac{45°}{2^n}$ , $n\geq 0$ un entier naturel.
Et je pense qu'on peut exprimer le membre de gauche de l'égalité à démontrer comme un quotient de polynômes évalués en une valeur de la fonction tangente pour $\theta=\dfrac{45°}{2^{n_0}}$ pour un $n_0$ à déterminer.
PS2. C'est plus compliqué que ce que j'affirme car $9°=45°/5$
On aurait besoin de connaître $\tan\left(\frac{\pi}{20}\right)$ probablement. (qui est exprimable à l'aide d'entiers et de racines carrées)
Par calcul direct, simple mais dans le bon ordre :
On calcule $\displaystyle \tan 9° + \tan 81° = {1 \over \cos 9° \cos 81°}$ en écrivant la tangente comme le rapport sinus sur cosinus et en utilisant la formule $\displaystyle \sin(x+y) = \sin x \cos y + \sin y \cos x.$ De même, $\displaystyle \tan 27° + \tan 63° = {1 \over \cos 27° \cos 63°}.$
On a montré que $\displaystyle \tan 9° -\tan 27° - \tan 63° + \tan 81° = {1 \over \cos 9° \cos 81°} - {1 \over \cos 27° \cos 63°} = {\sin 18° \cos 36° \over \cos 9° \cos 81° \cos 27° \cos 63°}=4$ en mettant tout au même dénominateur et en utilisant, au numérateur $\displaystyle \cos 81° = \sin 9°, \cos 63° =\sin 27°$ et la formule $\displaystyle \sin u - \sin v =2 \sin {u-v\over 2} \cos {u+v\over 2} $ puis la formule de duplication du sinus $\displaystyle \sin 2 z = 2 \sin z \cos z$ et $\displaystyle \sin 54° = \cos 36°.$
https://www.wolframalpha.com/input/?i=tan(Pi/20)
La valeur exacte de $\tan(9°)=\tan\left(\frac{\pi}{20}\right)$ on s'en cogne.
Ce nombre est racine d'un polynôme à coefficients entiers. On a seulement besoin du polynôme unitaire $R$ de plus petit degré dont ce nombre est racine.
Je pense qu'on peut montrer qu'il existe $P,Q$ polynômes à une variable à coefficients entiers tels que:
\begin{align}\tan(9°)-\tan(27°)-\tan(63°)+\tan(81°)=\frac{P\left(\tan\left(\frac{\pi}{20}\right)\right)}{Q\left(\tan\left(\frac{\pi}{20}\right)\right)}\end{align}
Ce qui fait que l'égalité qu'on veut vérifier est équivalente à:
\begin{align}P\left(\tan\left(\frac{\pi}{20}\right)\right)-4Q\left(\tan\left(\frac{\pi}{20}\right)\right)=0\end{align}
Cette dernière égalité est vraie si $R$ divise le polynôme $P-4Q$
La seule chose qui reste pendante c'est de le faire.
J'aimerais voir ça écrit de façon explicite.
Juste pour voir à quel point c'est simple.
Bien sur sans utiliser wolframalpha parce qu'on peut aussi taper l’expression sur une calculette et voir que le résultat est 4.
Trouver P,Q n'est pas difficile, je pense, une bonne partie du boulot a déjà été fait plus haut.
Pour que la méthode présentée ci-dessus fonctionne à tous les coups il faut qu'on ait le polynôme minimal autrement cela pourrait ne pas fonctionner.
Avec tg a + tg b = sin(a+b) / (cos a cos b)
et z40 = 1, on a :
tg 9 + tg 81 = 4 / (z + z-1)(z9 + z-9 ) = 4 / (i + z8 + z-8 - i) = 4 / (z8 + z-8 )
tg 27 + tg 63 = 4 / (z3 + z-3)(z7 + z-7 ) = 4 / (z4 + z-4 )
tg 9 - tg 27 - tg 63 + tg 81 = 4 ( z4 + z-4 - z8 - z-8 ) / ( z12 + z4 + z-4 + z-12 ) = 4
puisque - z8 = z28 = z-12 et - z-8 = z12
Je suis toujours épaté par ce genre de formules. Les démontrer, c'est une chose, mais comment diable, par quelle magie sont-elles découvertes ? J'éprouve le même émerveillement avec les études du jeu d'échecs. :-)