Équations trigonométriques à paramètre

Homo Topi · February 2019

J'en ai deux à résoudre.

1) $p \cos(x) - (p+1) \sin(x) = p$, avec $p \in \mathbb{R}$. On ne cherche pas à résoudre en fonction de $p$, mais : il faut trouver les valeurs de $p$ pour lesquelles l'équation admet deux solutions dont la différence est $\displaystyle \frac{\pi}{2}$.

2) $q \cos(x) - 2q \sin(x) = q-2$, avec $q \in \mathbb{R}$. Ici, il faut juste la résoudre en fonction de $q$.

J'ai grand besoin d'indices, parce que je n'ai aucune idée comment attaquer un problème comme ceux-là.

Math Coss · February 2019

Pour la première, $p$ convient SSI il existe $x$ tel que \[\begin{cases}
p \cos(x) - (p+1) \sin(x) = p\\p \cos\bigl(x+\frac\pi2\bigr) - (p+1) \sin\bigl(x+\frac\pi2\bigr) = p\end{cases}\]c'est-à-dire\[\begin{cases}
p \cos(x) - (p+1) \sin(x) = p\\-p \sin(x) - (p+1) \cos(x) = p.\end{cases}\]C'est un système de deux équations non proportionnelles à deux inconnues $\cos x$ et $\sin x$ et un paramètre $p$ : tu peux le résoudre, et te demander à quelle condition sur le couple de réels $(a,b)$ (les solutions que tu as trouvées en fonction de $p$) il existe un réel $x$ tel que $a=\cos x$ et $b=\sin x$.

Homo Topi · February 2019

J'ai compris pour le premier, merci :-)

Math Coss · February 2019

Pour la deuxième, je ferais volontiers une transformation de ce genre.

Homo Topi · February 2019

Je n'avais jamais vu cette astuce avant... Je vais essayer de comprendre ça, ça m'a l'air très utile :-D

Math Coss · February 2019

En effet, c'est encore la clé qui va te débloquer ici.

Équations trigonométriques à paramètre

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