Inéquation avec sinus/cosinus
Je dois résoudre l'inéquation suivante : $5 \sin(x)^2 - 2 \cos(x)^2 - 3\sin(x)\cos(x) \geqslant 0$.
J'ai essayé de la factoriser.
$5 \sin(x)^2 - 2 \cos(x)^2 - 3\sin(x)\cos(x) \geqslant 0 \Longleftrightarrow \sin(x)^2 - \displaystyle \frac{2}{5} \cos(x)^2 - \frac{3}{5} \sin(x)\cos(x) \geqslant 0$
$\Longleftrightarrow [\sin(x) - \displaystyle \frac{3}{10} \cos(x)]^2 - \frac{9}{100} \cos(x)^2 - \frac{2}{5} \cos(x)^2 \geqslant 0 \Longleftrightarrow [\sin(x) - \displaystyle \frac{3}{10} \cos(x)]^2 - \frac{49}{100} \cos(x)^2 \geqslant 0$
$\Longleftrightarrow [\sin(x) - \cos(x)][\sin(x) + \displaystyle \frac{46}{100}\cos(x)] \geqslant 0$ si je ne me suis pas trompé en chemin.
En tout cas, ça m'amènerait à étudier le signe des deux expressions $\sin(x) - \cos(x)$ et $\sin(x) + \displaystyle \frac{46}{100}\cos(x)$, pour trouver quand elles ont le même signe, mais je ne sais pas comment faire ça. Un indice ?
J'ai essayé de la factoriser.
$5 \sin(x)^2 - 2 \cos(x)^2 - 3\sin(x)\cos(x) \geqslant 0 \Longleftrightarrow \sin(x)^2 - \displaystyle \frac{2}{5} \cos(x)^2 - \frac{3}{5} \sin(x)\cos(x) \geqslant 0$
$\Longleftrightarrow [\sin(x) - \displaystyle \frac{3}{10} \cos(x)]^2 - \frac{9}{100} \cos(x)^2 - \frac{2}{5} \cos(x)^2 \geqslant 0 \Longleftrightarrow [\sin(x) - \displaystyle \frac{3}{10} \cos(x)]^2 - \frac{49}{100} \cos(x)^2 \geqslant 0$
$\Longleftrightarrow [\sin(x) - \cos(x)][\sin(x) + \displaystyle \frac{46}{100}\cos(x)] \geqslant 0$ si je ne me suis pas trompé en chemin.
En tout cas, ça m'amènerait à étudier le signe des deux expressions $\sin(x) - \cos(x)$ et $\sin(x) + \displaystyle \frac{46}{100}\cos(x)$, pour trouver quand elles ont le même signe, mais je ne sais pas comment faire ça. Un indice ?
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Réponses
J'aurais plutôt attaqué le problème en passant à des $\sin(2x)$ et $\cos(2x)$.
Cordialement.
$5 \sin(x)^2 - 2\cos(x)^2 - 3 \sin(x) \cos(x) = \displaystyle 5 \frac{1 - \cos(2x)}{2} - 3 \frac{1 + \cos(2x)}{2} - 3 \frac{\sin(2x)}{2}$.
Donc on se retrouve avec :
$\displaystyle 5 \frac{1 - \cos(2x)}{2} - 3 \frac{1 + \cos(2x)}{2} - 3 \frac{\sin(2x)}{2} \geqslant 0 \Longleftrightarrow \displaystyle 5(1 - \cos(2x)) - 3(1 + \cos(2x)) - 3 \sin(2x) \geqslant 0$
$\Longleftrightarrow 2 - 8 \cos(2x) - 3 \sin(2x) \geqslant 0$.
Et là, je ne vois pas comment continuer.
C'est bien si elle me résout deux problèmes d'un coup.
$= a[\cos(x - \alpha)\cos(\alpha) - \sin(x - \alpha)\sin(\alpha)] + b[\sin(x - \alpha)\cos(\alpha) + \cos(x - \alpha) \sin(\alpha)]$
$= \displaystyle \frac{a^2}{c} \cos(x- \alpha) - \frac{ab}{c} \sin(x - \alpha) + \frac{ab}{c} \sin(x - \alpha) + \frac{b^2}{c} \cos(x - \alpha) = \frac{a^2 + b^2}{c} \cos(x - \alpha) = c \cos(x - \alpha)$. Et voilà ! :-)
EDIT : et donc merci Gérard :-)
Cordialement.
=c\cos\alpha\cos x+c\sin\alpha\sin x=c\cos(x-\alpha).\] Un autre point de vue : étant donnés $(a,b)$, $c=\sqrt{a^2+b^2}$ et $\alpha$ tel que $a=c\cos\alpha$ et $b=c\sin\alpha$ sont le module et un argument de $a+b\mathrm{i}$. On est en train de parler de la partie réelle de \[c\mathrm{e}^{\mathrm{i}(x-\alpha)}
=c\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=(a-\mathrm{i}b)(\cos x+\mathrm{i}\sin x),\] il n'y a plus qu'à développer et identifier.