Fonction particulière

chris93
chris93
dans Analyse
Bonjour à tous,
j'aimerais savoir ce qu'on peut dire d'une fonction $f$ définie sur $\R$ (vous pouvez ajouter des hypothèses si nécessaire... continuité, dérivabilité...) telle que $$
\forall \epsilon >0, \ \exists x_0\in \R,\ \forall x\geq x_0, \quad \vert f(x)-f(x_0)\vert \leq \epsilon.

$$ Auriez-vous un exemple "simple" (dans le sens accessible à un élève de Terminale) de telle fonction ?
Merci.

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    Ta définition englobe des fonctions continues nulle part, du genre $\dfrac{1}{x^2} 1_\Q(x)$.

    Mais aussi certaines fonctions continues, du genre $\dfrac{1}{x^2}$.

    Enfin là elles ne sont pas définies sur $\R$ tout entier mais ce n'est pas un problème, ce qui compte c'est ce qui se passe vers $+\infty$.
  • chris93
    chris93
    Merci Skyffer.
    Est-ce qu'une telle fonction a nécessairement une limite finie en $+\infty$ ?
  • Chalk
    Chalk
    Oui, car elle vérifie le critère de Cauchy (en utilisant que $|f(x)-f(y)| \leq |f(x) - f(x_0)| + |f(y)-f(x_0)|$).

    La réciproque est d'ailleurs aussi vraie, si la fonction a une limite finie en $+\infty$ alors elle vérifie ta définition (car elle vérifie alors le critère de Cauchy).

    Désolé de ne pas l'avoir immédiatement remarqué ...
  • chris93
    chris93
    Ne sois pas désolé, c'est moi qui te remercie (tu)
  • chris93
    chris93
    J'en profite... aurais-tu un exemple de fonction $f$ admettant une limite finie en $+\infty$ qui ne vérifie pas cette hypothèse ?
  • Chalk
    Chalk
    J'ai répondu à cette question dans mon précédent message (mais c'est normal que tu sois passé à côté, je l'ai édité plusieurs fois pour le rendre plus complet).

    Ta définition est équivalente à avoir une limite finie en $+\infty$.
  • chris93
    chris93
    Merci infiniment !
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