Est-ce que cette inclusion est vraie ?

Soient $ (E, \left \|. \right \|) $ un espace de Banach $ T: E \rightarrow E $ est un operateur continu et borné.

Soit $ x_0 \in E $, nous définissons une suite $ (x_n) _ {n \in \mathbb N} $ comme suit : $$ x_{n + 1} = T (x_n) ,\text { pour } n = 0,1, \ldots

$$ Soit $ M_n = \overline {conv} (\{x_n, x_{n + 1}, \ldots \}) $ pour chaque $ n \in \mathbb N $.

- Avons-nous: $ \overline {conv} (T (M_n)) \subset T (\overline {conv} (M_n)) $?
- Si non, avez-vous un contre-exemple en tête ?
Merci d'avance.
$ \overline {conv} (A) $ est la fermeture de l'enveloppe convexe de $ A $.