Aide pour la résolution d'une intégrale

Pourquoi $X$ qui semble être un paramètre comme les autres dans l'intégrale devrait être fonction des autres paramètres ?

PS:

Comme tu élèves à la puissance d'un nombre dont on ne sait rien, il y a des conditions à réaliser pour pouvoir le faire ce qui entraîne des conditions sur des paramètres.

Si par exemple $\gamma$ est entier, on pourra dire que $X$ est racine d'un certain polynôme dépendant de tous tes paramètres. Sinon ça me semble compromis.

Tu as un peu trop de parametres. Si $\alpha>0$ prends donc comme nouvelle inconnue $x=X/\alpha$ et remplace $t$ par $y=e^{\beta t}$. En changeant tes constantes connues tu as l'equation en $x$ un peu plus simple
$$F(x)=\int_1^Y(1+xy)^{\gamma}\frac{dy}{y}=h$$ Comme $F$ est monotone (croissante si et seulement si $\gamma>0$) la solution de $F(x)=h$ est unique.Tu peux faire des simulations. Ou bien, pour regarder ou tu mets les pieds, considerer le cas $Y=\infty $ et $\gamma<0$ ou bien le cas $Y>0$ et $\gamma=-1,0,1,2,3,$ car $F$ est explicite dans ces cas simples.