Équation intégro-différentielle

anderstood · February 2019

Bonjour
J'ai une équation du type $$

\ddot x(t) + \int_0^t f(\tau) \dot x(t-\tau)d\tau + x(t) = 0,

$$ pour $f$ une fonction $\mathcal{C}^\infty$ de $\mathbb{R}^+$ dans $M_n(\mathbb{R})$ prescrite. J'ai programmé un petit solveur numérique qui semble marcher, mais j'aimerais m'en assurer en comparant à des solutions (exactes ou approchées) de référence. Auriez-vous des idées de solutions analytiques connues (quitte à jouer sur $f\not\equiv 0$ bien sûr), ou de méthodes numériques pour traiter de tels problèmes ?

Merci

(edit : typo relevée par YvesM corrigée)

YvesM · February 2019

Bonjour,

Tu peux faire le calcul à l’envers : tu supposes $x(t)$ et tu calcules $f(t)$ pour vérifier l’équation.
Par exemple, $x(t)=a t+b$ ou $x(t)=e^{t/a}$ ou $x(t)=\ln (t/a)$ ou une puissance...

Vérifie aussi si tu peux sortir $f$ de l’intégrale (c’est peut être une typo) : je suppose que non.

anderstood · February 2019

Merci je vais essayer cette bonne idée.

Héhéhé · February 2019

Tu peux prendre $f = 1$, ce qui donne l'équation
$$ x^{\prime\prime}(t) + 2x(t)-x(0) = 0$$
dont les solutions sont données par
$$x(t) = \frac{x(0)}{2}+\frac{x(0)}{2}\cos(\sqrt 2 t) + \frac{x^\prime(0)}{\sqrt 2} \sin(\sqrt 2 t).$$

anderstood · February 2019

Merci à tous les deux, j'ai pu vérifier que l'implémentation semblait bonne.

anderstood · February 2019

Bonjour
Y a-t-il des résultats sur les solutions à une équation de la forme
$$ \ddot x + \int_0^\infty f(\tau)\dot x(t-\tau) d\tau + x = 0$$
où $x$ est une fonction $\mathcal{C}^2(\mathbb{R})$ et $f$ une fonction intégrable donnée ? J'ai commencé à lire "Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles", 1913 de Volterra mais je ne vois pas de le lien avec mon équation, malgré le chapitre 2 "Théorie mathématique de l'élasticité en ayant égard à l'hérédité" (l'hérédité désigne le produit de convolution, qu'on appelle souvent "effet mémoire" en physique).

Par exemple, je me demande s'il existe des résultats sur l'existence et l'unicité de solutions (pour des données $x(0)$ et $\dot x(t), t\leq 0$ et éventuellement de conditions sur $f$).

Merci

PS : j'avais posé cette question sur une sujet connexe mais il m'a semblé pertinent de créer un nouveau fil.

[Il est inutile d'ouvrir une nouvelle discussion pour poursuivre les questions sur le même sujet. AD]

Said Fubini · February 2019

Bonjour,
en posant $x'=y$ tu trouveras le lien

Équation intégro-différentielle

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Bonjour!

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