Prolongement zeta.

Il n'y a pas de convergence à justifier, la fonction $s \mapsto \sum_{k=1}^{n} \frac{b_{k}}{k!} (s...(s+(k-2))$ est polynomiale donc entière. Le paramètre $n$ n'est pas amené à bouger, ces considérations montrent que l'on peut prolonger analytiquement $\zeta$ à $$\{s \in \mathbb C \mid \mathfrak{Re}(s) > 1 -n\}.$$

T'as vu que $$ \int_1^\infty B_n(x-\lfloor x \rfloor) x^{-s-n}dx= C_n+(s+n) \frac{1}{n+1} \int_1^\infty B_{n+1}(x-\lfloor x \rfloor) x^{-s-n-1}dx$$
$ \forall n, B_{n+1}'(x) =(n+1) B_n(x), \int_0^1 B_n(x)dx =0, \int_1^x B_n(y-\lfloor y \rfloor)dy=C_n+B_{n+1}(x-\lfloor x \rfloor)$ c'est juste une intégration par partie. Au départ $B_1(x) = x-\frac12$ et $\zeta(s) = \frac{s}{s-1}-\frac12 -s\int_1^\infty B_1(x-\lfloor x \rfloor) x^{-s-1}dx$