Différentielle seconde fonction composée

Bonjour,

J'essaie de calculer la différentielle seconde de la fonction composée fog avec f de F dans G et g de E dans F.
J'ai essayé plusieurs méthodes telle que voir Dfog comme une fonction composée et répliquer la formule pour différentier une fonction composée mais je tourne en rond...
Je ne trouve pas la démonstration sur internet et je n'ai pas compris la seule que j'ai vue.
Si quelqu'un savait m'aider...
Merci !



Modifié 2 fois. Dernière modification le 15/02/2019 21:10 par KastoueMee.

Tu sais que $D_x(f \circ g) = D_{g(x)}(f) \circ D_x(g)$ n'est-ce pas ? Tu cherches maintenant le différentielle de cette application de $x$, qui se trouve être une composée (de composée)...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 15/02/2019 09:32 par Poirot.

Justement, j'ai fait comme ça en posant $D_{g(x)}(f) \circ D_x(g)= \phi \circ \psi (x)$
Avec $\psi : x \mapsto (D_{g(x)}(f) ,D_x(g) )$
Et $ \phi : (F,G) \mapsto F \circ G$
On a donc $ \phi \circ \psi (x) = \phi \big(D_{g(x)}(f) ,D_x(g) \big)=p(x)=D_x(f \circ g)$ et on applique la règles de Leibniz :

$D_hp(x)=\phi \big((D_{g(x)}(f))'.h,D_x(g)\big)+ \phi (D_{g(x)}(f), (D_x(g))'.h)$ d'où
\begin{align*}
D\big(D(f \circ g)\big).x.h&=D_hp(x) \\
&= \phi \big(D_{g(x)}^2(f).h,D_x(g)\big)+\phi\big(D_{g(x)}(f),D_x^2(g)\big) \\
&= D_{g(x)}^2(f).h \circ D_x(g) + D_{g(x)}(f) \circ D_x^2(g).h

\end{align*} Mais ce n'est pas la bonne formule, et en plus le résultat ne semble pas homogène, je n'arrive pas à trouver mon erreur...



Modifié 3 fois. Dernière modification le 15/02/2019 21:20 par KastoueMee.

Je pense que ton erreur vient du fait que tu ne différenties pas correctement en $x$ le $D_{g(x)}(f)$, c'est à nouveau une composée, la différentielle de $g$ devrait sortir à un moment.

$D_{g(x)}(f)$ se décomposerai simplement en $D(f) \circ g(x)$ ?

Dans ce cas on aurait :

$\begin{align*}
\big(D_{g(x)}(f)\big)' &=D \big( D_{g(x)}(f) \big) \circ D_{x}(g) \\
&=D^2_{g(x)}(f) \circ D_x(g)
\end{align*}$

D'où

$\begin{align*}
D_x\big(D(f \circ g)\big).h&= \phi \big(D^2_{g(x)}(f) \circ D_x(g) .h,D_x(g)\big)+\phi \big(D_{g(x)}(f),D_x^2(g)\big) \\
&=D^2_{g(x)}(f) \circ D_x(g) .h \circ D_x(g) + D_{g(x)}(f) \circ D_x^2(g).h

\end{align*}$

Et enfin

$
D_x\big(D(f \circ g)\big).h.h'=D^2_{g(x)}(f) \circ D_x(g) .h \circ D_x(g).h' + D_{g(x)}(f) \circ D_x^2(g).h.h' \in G$

Avec $ (h,h') \in E^2$

Je retrouve enfin la formule que je cherchais à démontrer !
Ma démarche était-elle rigoureuse ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 15/02/2019 21:14 par KastoueMee.

Je n'ai pas vérifié les calculs, mais en effet, $x \mapsto D_{g(x)}(f) = D(f) \circ g$, où $D(f) : y \mapsto D_y(f)$, et il faut bien penser à différentier cette composée. Ravi que tu retrouves la formule que tu souhaitais

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