Différentielle seconde fonction composée

Justement, j'ai fait comme ça en posant $D_{g(x)}(f) \circ D_x(g)= \phi \circ \psi (x)$
Avec $\psi : x \mapsto (D_{g(x)}(f) ,D_x(g) )$
Et $ \phi : (F,G) \mapsto F \circ G$
On a donc $ \phi \circ \psi (x) = \phi \big(D_{g(x)}(f) ,D_x(g) \big)=p(x)=D_x(f \circ g)$ et on applique la règles de Leibniz :

$D_hp(x)=\phi \big((D_{g(x)}(f))'.h,D_x(g)\big)+ \phi (D_{g(x)}(f), (D_x(g))'.h)$ d'où
\begin{align*}
D\big(D(f \circ g)\big).x.h&=D_hp(x) \\
&= \phi \big(D_{g(x)}^2(f).h,D_x(g)\big)+\phi\big(D_{g(x)}(f),D_x^2(g)\big) \\
&= D_{g(x)}^2(f).h \circ D_x(g) + D_{g(x)}(f) \circ D_x^2(g).h

\end{align*} Mais ce n'est pas la bonne formule, et en plus le résultat ne semble pas homogène, je n'arrive pas à trouver mon erreur...

$D_{g(x)}(f)$ se décomposerai simplement en $D(f) \circ g(x)$ ?

Dans ce cas on aurait :

$\begin{align*}
\big(D_{g(x)}(f)\big)' &=D \big( D_{g(x)}(f) \big) \circ D_{x}(g) \\
&=D^2_{g(x)}(f) \circ D_x(g)
\end{align*}$

D'où

$\begin{align*}
D_x\big(D(f \circ g)\big).h&= \phi \big(D^2_{g(x)}(f) \circ D_x(g) .h,D_x(g)\big)+\phi \big(D_{g(x)}(f),D_x^2(g)\big) \\
&=D^2_{g(x)}(f) \circ D_x(g) .h \circ D_x(g) + D_{g(x)}(f) \circ D_x^2(g).h

\end{align*}$

Et enfin

$
D_x\big(D(f \circ g)\big).h.h'=D^2_{g(x)}(f) \circ D_x(g) .h \circ D_x(g).h' + D_{g(x)}(f) \circ D_x^2(g).h.h' \in G$

Avec $ (h,h') \in E^2$

Je retrouve enfin la formule que je cherchais à démontrer !
Ma démarche était-elle rigoureuse ?