Inégalité découlant du TAF

gauss
gauss
dans Analyse
Bonjour,
voici en pj un exercice sur lequel je bloque.

Mes idées : on est sur un segment et f est dérivable donc continue, donc l'inf existe et est atteint en un réel a de l'intervalle ]2 ; 5].
J'essaie alors d'appliquer le théorème des accroissements finis à f entre a et 2, et arrive seulement à établir que f est à valeurs positives sur [2 ; 5].
Comment améliorer la minoration et aboutir à celle voulue par l'énoncé ?

Par avance merci, je ne vois pas du tout.
gauss

[Contenu du fichier pdf. AD]84272

Réponses

  • Dom
    Dom
    Bonsoir,

    Un dessin m'incite à comprendre d'où vient ce 0,4 et même d'ajouter à l'exercice que : $\sup f \leq 4,6$.

    Mon dessin en question représente la courbe "la pire" : c'est-à-dire qu'on monte à une pente de 4 et qu'on descend ensuite à une pente de -1. Ou encore qu'on descend à une pente de -1 puis qu'on monte à une pente de 4.

    Bon je ne sais pas si cela va t'aider.

    Je reviendrai plus tard pour proposer quelque chose à démontrer à partir de cette idée de dessin...

    Il y a peut-être plus efficace, plus "brutal" et moins intuitif.
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Utilise le fait que $x\mapsto x+f(x)$ est croissante sur $[2,5]$ et donc minorée par sa valeur en $2.$
    On a a également $x\mapsto 4x-f(x)$ est croissante sur $[2,5]$ et donc majorée par sa valeur en $5.$
    Tu obtiens deux minorations (affines) vraies pour tout $x$ appartenant à $[2,5].$ L'intersection de ces deux droites est le point potentiel (à condition de montrer qu'il tombe dans $[2,5]$) qui optimise la minoration précédente.
    A toi de conclure.
  • gauss
    gauss
    Excellent !

    Merci à vous deux, je n'avais pas eu cette intuition.

    Bonne journée

    gauss
  • gauss
    gauss
    Existe-t-il une solution qui utilise le TAF ?
    Car dans l'énoncé où l'exercice a été pris, il est justement dans le paragraphe du TAF.

    merci

    gauss
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ben justement, les deux explications qui t'ont été proposées utilisent l'inégalité des accroissements finis.
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