Continuité à gauche
Bonjour,
Soit $f$ une fonction réelle définie sur $]0, 1[$.
Soit $p \in \,]0, 1[$.
Soit $x \in \mathbb{R}$.
On suppose que $\forall \varepsilon \in\, ]0, p[,\ f(p - \varepsilon) \leq x \iff f(p) \leq x$.
Comment montrer que $f$ est alors continue à gauche en $p$ ?
J'ai essayé de revenir à la définition mais je ne vois pas quel $\eta$ choisir.
Soit $f$ une fonction réelle définie sur $]0, 1[$.
Soit $p \in \,]0, 1[$.
Soit $x \in \mathbb{R}$.
On suppose que $\forall \varepsilon \in\, ]0, p[,\ f(p - \varepsilon) \leq x \iff f(p) \leq x$.
Comment montrer que $f$ est alors continue à gauche en $p$ ?
J'ai essayé de revenir à la définition mais je ne vois pas quel $\eta$ choisir.
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Réponses
Il doit manquer quelque chose à ton énoncé ! Je prends $p=\frac 1 2, \ x=-1$ et f nulle, sauf en p où elle vaut 1 (donc discontinue à gauche en p). L'équivalence est alors vérifiée (les deux membres sont faux pour tout $\varepsilon$).
Cordialement.