Intégrale de Dirichlet

Bonjour à tous
Voici une résolution de l'intégrale de Dirichlet.

Je n'ai pas trop de problème sur la phase purement calculatoire mais par contre je ne comprends pas la justification avec l'utilisation du théorème de [large]F[/large]ubini [large]T[/large]oneli, en particulier, comment peut-on dire que $\int_0^A \frac{|\sin(x)|}{x}<\infty$ ? J'ai bien essayé de majorer le sinus par $1$ mais j'obtiens une majoration par une intégrale divergente, donc ça ne m'aide pas...
Merci !

[Guido Fubini (1879-1943) et Leonida Tonelli (1885-1946) prennent tous deux une majuscule. AD]