Solution fondamentale et convolution

mati · February 2019

Bonjour
à la fin du cours du produit de convolution, on a la notion suivante sur la solution fondamentale. La définition d'une solution fondamentale est donnée par: soit $f \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$, et soit $A$ une distribution donnée. On dit d'une distribution $w \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ qu'elle est solution fondamentale de $A*w=f$ si $A*w=\delta$.
Puis une autre partie dit ceci: nous allons maintenant voir l'utilité de la notion de solution fondamentale en l'appliquant sur le Laplacien. Nous avons la proposition suivante: on définit la fonction $w$ sur $\mathbb{R}^n$ par les deux expressions suivantes:
1. pour $n =2$: $w(x)= \dfrac{1}{2 \pi} \ln||x||$ et pour $n \neq 2$ on a $w(x)= \dfrac{-1}{(n-2) w_n} . \dfrac{1}{||x||^{n-2}}$,
où $w_n$ désigne la surface de la sphére unité: $w_n= \dfrac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$.
cette fonction $w$ est la solution fondamentale du Laplacien.

Après tout ça, je ne réussi pas à voir l'utilité de la notion de solution fondamentale ni comment on calcule la solution fondamentale. Merci par avance pour toute aide.

Bien cordialement

Tryss · February 2019

Si $w$ est la solution fondamentale du Laplacien, on a

$\Delta w = \delta$

Donc pour $f$ donnée, la solution de $\Delta g = f$ est $g = w * f$.

En effet, l'égalité $\Delta w = \delta$ implique que

$(\Delta w) * f = \delta * f$

Et en utilisant les propriétés classiques de la convolution, ça se simplifie en

$\Delta (w * f) = f$

D'où le résultat.

mati · February 2019

Bonjour Tryss
à quoi ça sert de calculer la solution fondamentale d'un opérateur différentiel?

Cordialement

Poirot · February 2019

On dirait que tu n'as pas lu son message. Si tu connais la solution fondamentale, tu connais la solution de l'équation avec n'importe quel second membre.

mati · February 2019

Ah je suis bête! J'ai compris maintenant l'importance des solutions fondamentales.
Autre question: comment calculer une solution fondamentale? Par exemple cela du Laplacien en dimension 1.

Bien cordialement

mati · February 2019

Bonjour
comment calculer la solution fondamentale de l'équation $u''-u=\delta_0$?

Cordialement

BobbyJoe · February 2019

Pour ton exemple, il suffit d'utiliser la transformée de Laplace et d'inverser ta formule...
Enfin, pour le cas qui t'intéresse : il suffit de faire un calcul direct et d'utiliser Green-Riemann pour avoir la bonne normalisation de la solution fondamentale.
Tu peux voir les détails à la page 64 de ce polycopié : https://www.ceremade.dauphine.fr/~carlier/poly2010.pdf

Remarque : une autre façon de procéder est de chercher des solutions radiales et d'appliquer la formule du Laplacien en "coordonnées polaires" généralisées pour se ramener à une équation différentielle que l'on sait résoudre... La constante d'intégration se calcule de la même manière que précédemment.

mati · February 2019

Bonsoir
une question: si $A \in \mathcal{D}(\R^n)$ et $w \in \mathcal{D}'(\R^n)$: est ce que $A*w \in \mathcal{D}(\R^n)$ ou bien $A*u \in \mathcal{E}(\R^n)$? où $*$ désigne le produit de convolution. Comment savoir?

Cordialement

BobbyJoe · February 2019

Tu peux aussi retrouver la résultat en utilisant une IPP mais surtout en utilisant la formule suivante dite de représentation intégrale (qui découle d'un passage en coordonnées polaires).
Soit $n\geq 2$ et $u\in \mathbb{S}^{n-1}$ (on désignera par $\omega_{n}$ la mesure "surfacique" de $\mathbb{S}^{n-1}$).
Considérons une fonction $f$ de classe $C^{\infty}$ à support compact.
On a alors $$\forall x\in \mathbb{R}^{n},\mbox{ } -f(x)=\int_{0}^{+\infty}<\nabla f(x+tu),u>dt.$$
En intégrant la relation précédente sur $\mathbb{S}^{n-1}$ puis en procédant à un changement en coordonnés polaires, il vient
\begin{align*}
-\omega_{n}f(x) & =\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\int_{0}^{+\infty}\frac{<\nabla f(x+tu),u>}{t^{n-1}}t^{n-1}dtdu\\
& =\int_{\mathbb{R}^{n}}<\nabla f(y),\frac{y-x}{\|y-x\|^{n}}>dy \mbox{ en procédant au changement de variables } y=x+tu.
\end{align*}

D'où le résultat que tu cherchais en distinguant les cas $n=2$ puis $n=3.$

Remarque : on a effectivement pour $n\geq 3$ et $x\neq 0,$ $\displaystyle \nabla{\big(\frac{1}{\|x\|^{n-2}}\big)}=-(n-2)\frac{x}{\|x\|^{n}}.$

mati · February 2019

Merci Bobby, c'est parfait.
Encore deux questions:
1. Si $A \in \mathcal{D}(\R^n)$ et $w \in \mathcal{D}'(\R^n)$ alors où appartient $A*w$? dans $\mathcal{D}$ ou bien dans $\mathcal{E}$?
2. J'ai le théorème suivant: soit $A \in \mathcal{E}'(\R^n)$. On suppose que $w$ est une solution fondamentale de $A$. Alors:
a- pour tout $f \in \mathcal{E}'$, il existe $u \in \mathcal{D}'$ telle que $A*u =f$, c'est à dire que $u=w * f$.
b- soit $f \in \mathcal{E}'$. S'il existe $u \in \mathcal{E}'(\R^n)$ solution de $A*u=f$ alors il est unique et on a $u=w * f$.

Pour la preuve de a, j'ai ceci: soit $f \in \mathcal{E}'$ et soit $w \in \mathcal{D}'$ une solution fondamentale, et on montre que $u = w*f$. Puisque $Supp f$ et $Supp A$ sont compacts, alors $Supp f$ et $Supp A$ et $Supp w$ sont convolutifs. Donc on a la propriété d'associativité:
$$
A*(w*f)=(A*w)*f=\delta * f=f.
$$
donc $u=w*f$ est solution.
Je n'ai pas de problème avec cette démonstration.

Pour la preuve de b j'ai ceci: soit $f \in \mathcal{E}'(\R^n)$ et soit $u$ une solution de $A*u=f$ tel que $u \in \mathcal{E}'$. $w$ est une solution fondamentale de $A$ veut dire que $A*w=\delta$. Donc
$$
u= \delta * u= (w*A)*u=w*(A*u)= w*f.
$$

Je ne vois pas dans la preuve de b où est l'unicité. C'est quoi la différence entre le point a où $u \in \mathcal{D}'$ et le point b où $u \in \mathcal{E}'$? Pourquoi il faut que $u$ soit dans $\mathcal{E}'$ pour avoir unicité?

Cordialement

mati · February 2019

up! Quelqu'un?

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