Solution fondamentale et convolution
Bonjour
à la fin du cours du produit de convolution, on a la notion suivante sur la solution fondamentale. La définition d'une solution fondamentale est donnée par: soit $f \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$, et soit $A$ une distribution donnée. On dit d'une distribution $w \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ qu'elle est solution fondamentale de $A*w=f$ si $A*w=\delta$.
Puis une autre partie dit ceci: nous allons maintenant voir l'utilité de la notion de solution fondamentale en l'appliquant sur le Laplacien. Nous avons la proposition suivante: on définit la fonction $w$ sur $\mathbb{R}^n$ par les deux expressions suivantes:
1. pour $n =2$: $w(x)= \dfrac{1}{2 \pi} \ln||x||$ et pour $n \neq 2$ on a $w(x)= \dfrac{-1}{(n-2) w_n} . \dfrac{1}{||x||^{n-2}}$,
où $w_n$ désigne la surface de la sphére unité: $w_n= \dfrac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$.
cette fonction $w$ est la solution fondamentale du Laplacien.
Après tout ça, je ne réussi pas à voir l'utilité de la notion de solution fondamentale ni comment on calcule la solution fondamentale. Merci par avance pour toute aide.
Bien cordialement
à la fin du cours du produit de convolution, on a la notion suivante sur la solution fondamentale. La définition d'une solution fondamentale est donnée par: soit $f \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$, et soit $A$ une distribution donnée. On dit d'une distribution $w \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ qu'elle est solution fondamentale de $A*w=f$ si $A*w=\delta$.
Puis une autre partie dit ceci: nous allons maintenant voir l'utilité de la notion de solution fondamentale en l'appliquant sur le Laplacien. Nous avons la proposition suivante: on définit la fonction $w$ sur $\mathbb{R}^n$ par les deux expressions suivantes:
1. pour $n =2$: $w(x)= \dfrac{1}{2 \pi} \ln||x||$ et pour $n \neq 2$ on a $w(x)= \dfrac{-1}{(n-2) w_n} . \dfrac{1}{||x||^{n-2}}$,
où $w_n$ désigne la surface de la sphére unité: $w_n= \dfrac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$.
cette fonction $w$ est la solution fondamentale du Laplacien.
Après tout ça, je ne réussi pas à voir l'utilité de la notion de solution fondamentale ni comment on calcule la solution fondamentale. Merci par avance pour toute aide.
Bien cordialement
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Réponses
$\Delta w = \delta$
Donc pour $f$ donnée, la solution de $\Delta g = f$ est $g = w * f$.
En effet, l'égalité $\Delta w = \delta$ implique que
$(\Delta w) * f = \delta * f$
Et en utilisant les propriétés classiques de la convolution, ça se simplifie en
$\Delta (w * f) = f$
D'où le résultat.
à quoi ça sert de calculer la solution fondamentale d'un opérateur différentiel?
Cordialement
Autre question: comment calculer une solution fondamentale? Par exemple cela du Laplacien en dimension 1.
Bien cordialement
comment calculer la solution fondamentale de l'équation $u''-u=\delta_0$?
Cordialement
Enfin, pour le cas qui t'intéresse : il suffit de faire un calcul direct et d'utiliser Green-Riemann pour avoir la bonne normalisation de la solution fondamentale.
Tu peux voir les détails à la page 64 de ce polycopié : https://www.ceremade.dauphine.fr/~carlier/poly2010.pdf
Remarque : une autre façon de procéder est de chercher des solutions radiales et d'appliquer la formule du Laplacien en "coordonnées polaires" généralisées pour se ramener à une équation différentielle que l'on sait résoudre... La constante d'intégration se calcule de la même manière que précédemment.
une question: si $A \in \mathcal{D}(\R^n)$ et $w \in \mathcal{D}'(\R^n)$: est ce que $A*w \in \mathcal{D}(\R^n)$ ou bien $A*u \in \mathcal{E}(\R^n)$? où $*$ désigne le produit de convolution. Comment savoir?
Cordialement
Soit $n\geq 2$ et $u\in \mathbb{S}^{n-1}$ (on désignera par $\omega_{n}$ la mesure "surfacique" de $\mathbb{S}^{n-1}$).
Considérons une fonction $f$ de classe $C^{\infty}$ à support compact.
On a alors $$\forall x\in \mathbb{R}^{n},\mbox{ } -f(x)=\int_{0}^{+\infty}<\nabla f(x+tu),u>dt.$$
En intégrant la relation précédente sur $\mathbb{S}^{n-1}$ puis en procédant à un changement en coordonnés polaires, il vient
\begin{align*}
-\omega_{n}f(x) & =\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\int_{0}^{+\infty}\frac{<\nabla f(x+tu),u>}{t^{n-1}}t^{n-1}dtdu\\
& =\int_{\mathbb{R}^{n}}<\nabla f(y),\frac{y-x}{\|y-x\|^{n}}>dy \mbox{ en procédant au changement de variables } y=x+tu.
\end{align*}
D'où le résultat que tu cherchais en distinguant les cas $n=2$ puis $n=3.$
Remarque : on a effectivement pour $n\geq 3$ et $x\neq 0,$ $\displaystyle \nabla{\big(\frac{1}{\|x\|^{n-2}}\big)}=-(n-2)\frac{x}{\|x\|^{n}}.$
Encore deux questions:
1. Si $A \in \mathcal{D}(\R^n)$ et $w \in \mathcal{D}'(\R^n)$ alors où appartient $A*w$? dans $\mathcal{D}$ ou bien dans $\mathcal{E}$?
2. J'ai le théorème suivant: soit $A \in \mathcal{E}'(\R^n)$. On suppose que $w$ est une solution fondamentale de $A$. Alors:
a- pour tout $f \in \mathcal{E}'$, il existe $u \in \mathcal{D}'$ telle que $A*u =f$, c'est à dire que $u=w * f$.
b- soit $f \in \mathcal{E}'$. S'il existe $u \in \mathcal{E}'(\R^n)$ solution de $A*u=f$ alors il est unique et on a $u=w * f$.
Pour la preuve de a, j'ai ceci: soit $f \in \mathcal{E}'$ et soit $w \in \mathcal{D}'$ une solution fondamentale, et on montre que $u = w*f$. Puisque $Supp f$ et $Supp A$ sont compacts, alors $Supp f$ et $Supp A$ et $Supp w$ sont convolutifs. Donc on a la propriété d'associativité:
$$
A*(w*f)=(A*w)*f=\delta * f=f.
$$
donc $u=w*f$ est solution.
Je n'ai pas de problème avec cette démonstration.
Pour la preuve de b j'ai ceci: soit $f \in \mathcal{E}'(\R^n)$ et soit $u$ une solution de $A*u=f$ tel que $u \in \mathcal{E}'$. $w$ est une solution fondamentale de $A$ veut dire que $A*w=\delta$. Donc
$$
u= \delta * u= (w*A)*u=w*(A*u)= w*f.
$$
Je ne vois pas dans la preuve de b où est l'unicité. C'est quoi la différence entre le point a où $u \in \mathcal{D}'$ et le point b où $u \in \mathcal{E}'$? Pourquoi il faut que $u$ soit dans $\mathcal{E}'$ pour avoir unicité?
Cordialement