Soit $E$ un ensemble, $k\in E$, $\sigma: E \to E$ une fonction, $f:E\to \R$ une fonction.
On suppose que $f(k)=100$ et que pour tout $x \in E$, $f\left (\sigma(x)\right ) = 0.8f(x)+10$.
Une partie $F$ de $E$ est dite (dans ce post) stable si $k \in F$ et si pour tout $y\in F$, on a aussi $\sigma (y) \in F$.
Il est clair que $E$ est stable; de plus soit $\mathcal G$ un ensemble de parties de $E$ toutes stables; alors leur intersection est encore stable.
On note $I$ la plus petite partie stable, i.e. l'intersection de toutes les parties stables de $E$. Si $H$ est stable on a donc $I\subseteq H$.
On a les propriétés suivantes:
1°) L'ensemble des $x$ tels que $f(x)>50$ est stable (*).
En effet, $f(k)=100>50$. De plus pour tout $t\in E$, si $t>50$ alors $f(t)=0.8t+10>0.8 \times 50+10=50$.
2°) L'ensemble des $y$ tels que $f(y) \leq 50$ ou bien $f(y)>50$ et $f(y)>f\left ( \sigma(y) \right )$ est stable.
$f\left (\sigma(k)\right) = 0.8\times 100 +10 = 90$, on a donc $f \left (\sigma(k)\right)>50$ et $f(k) < f\left (\sigma(k)\right)$.
Soit $z$ appartenant à l'ensemble en question.
Alors il y a deux cas:
Si $f(z)\leq 50$ on a aussi $f \left (\sigma(z)\right) = 0.8f(z)+10 \leq 0.8\times 50+10 = 50$.
Si $f(z)>50$ et $f(z)> f \left (\sigma(z)\right)$ alors $f \left (\sigma(z)\right)> 50$ par 1°) et de plus $$f \left (\sigma(z)\right) =
0.8 f(z)+10 > 0.8 f \left (\sigma(z)\right) +10 =f \left (\sigma \left (\sigma (z) \right )\right)$$
D'où le résultat.
Ainsi, $I$ est contenu dans les deux ensembles évoqués plus haut, autrement dit:
(i) pour tout $x\in I$, $f(x)>50$
(ii) pour tout $x\in I$, $f(x)\leq 50$ ou bien $x> f(x)$.
Ce qui entraîne forcément que pour tout $x\in I$, $x> f(x)$.
NB: dans le cas particulier où $E=\N$, $k=0$ et $\sigma(x)=x+1$ pour tout $x\in \N$, le résultat de l'exo est conséquence de ce que $\N$ est la seule partie stable (au sens du présent message; ceci n'est qu'une des versions -affaiblie certes- de "l'axiome de récurrence") de $\N$ et que donc $\N=I$.
(*) ce genre de valeur est trouvé en envisageant les points fixes de $x \mapsto 0.8x+10$
Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Foys.