Variation d'une suite récurrente en 1ère ES

Soit $E$ un ensemble, $k\in E$, $\sigma: E \to E$ une fonction, $f:E\to \R$ une fonction.
On suppose que $f(k)=100$ et que pour tout $x \in E$, $f\left (\sigma(x)\right ) = 0.8f(x)+10$.

Une partie $F$ de $E$ est dite (dans ce post) stable si $k \in F$ et si pour tout $y\in F$, on a aussi $\sigma (y) \in F$.
Il est clair que $E$ est stable; de plus soit $\mathcal G$ un ensemble de parties de $E$ toutes stables; alors leur intersection est encore stable.

On note $I$ la plus petite partie stable, i.e. l'intersection de toutes les parties stables de $E$. Si $H$ est stable on a donc $I\subseteq H$.

On a les propriétés suivantes:
1°) L'ensemble des $x$ tels que $f(x)>50$ est stable (*).
En effet, $f(k)=100>50$. De plus pour tout $t\in E$, si $t>50$ alors $f(t)=0.8t+10>0.8 \times 50+10=50$.

2°) L'ensemble des $y$ tels que $f(y) \leq 50$ ou bien $f(y)>50$ et $f(y)>f\left ( \sigma(y) \right )$ est stable.
$f\left (\sigma(k)\right) = 0.8\times 100 +10 = 90$, on a donc $f \left (\sigma(k)\right)>50$ et $f(k) < f\left (\sigma(k)\right)$.
Soit $z$ appartenant à l'ensemble en question.
Alors il y a deux cas:
Si $f(z)\leq 50$ on a aussi $f \left (\sigma(z)\right) = 0.8f(z)+10 \leq 0.8\times 50+10 = 50$.
Si $f(z)>50$ et $f(z)> f \left (\sigma(z)\right)$ alors $f \left (\sigma(z)\right)> 50$ par 1°) et de plus $$f \left (\sigma(z)\right) =
0.8 f(z)+10 > 0.8 f \left (\sigma(z)\right) +10 =f \left (\sigma \left (\sigma (z) \right )\right)$$
D'où le résultat.

Ainsi, $I$ est contenu dans les deux ensembles évoqués plus haut, autrement dit:
(i) pour tout $x\in I$, $f(x)>50$
(ii) pour tout $x\in I$, $f(x)\leq 50$ ou bien $x> f(x)$.

Ce qui entraîne forcément que pour tout $x\in I$, $x> f(x)$.

NB: dans le cas particulier où $E=\N$, $k=0$ et $\sigma(x)=x+1$ pour tout $x\in \N$, le résultat de l'exo est conséquence de ce que $\N$ est la seule partie stable (au sens du présent message; ceci n'est qu'une des versions -affaiblie certes- de "l'axiome de récurrence") de $\N$ et que donc $\N=I$.


[size=x-small](*) ce genre de valeur est trouvé en envisageant les points fixes de $x \mapsto 0.8x+10$[/size]

YvesM a écrit:

On peut aussi attendre qu'on pose $V_n=U_n-a, n \geq 0$ et on reconnaît une suite géométrique pour la suite $V$ avec $a=50.$ On obtient $U_n=0.8^n .150-50, n \geq 0$ qui décroît.

Même en TES on ne demande pas de savoir faire ça (enfin, pas au bac) et si on le demandait en classe, on perdrait 99% des élèves

C'est l'exemple type d'exercice absurde que l'on peut demander alors que l'élève n'a pas vu le raisonnement par récurrence...
Etudier le sens de variation de ce genre de suite est un non sens en général quand on n'a pas vu la démonstration par récurrence. Ici encore on va faire "semblant" de faire des mathématiques avec du tripatouillage de calculatrice .
L'élève pensera que toute suite croissante jusqu'à un rang n est forcément croissante pour tout n et qu'en plus il aura fait une démonstration...(on voit sur la calculatrice que...)
Cela serait beaucoup plus logique et intéressant de leur faire démontrer que la suite u(n+1)=(u(n))^2+5u(n)+4 est croissante par exemple B-)
La méthode de YvesM est la seule valable à ce niveau mais à la condition que l'énoncé donne la suite auxiliaire ( que l'élève n'est pas censé trouver tout seul car bien entendu on ne lui explique pas...) et que l'on pose ensuite les questions: démontrer que cette suite auxiliaire v(n) est géométrique (c'est l'étape cruciale et casse-gueule pour les élèves) puis déterminer v(n) en fonction de n et en déduire u(n) en fonction de n. Le signe de u(n+1)-u(n) peut ensuite se déterminer facilement si l'élève connait ses règles sur les puissances...
Cette méthode est encore demandée pour les élèves de ES et S et elle tellement utilisée qu'il s'agit d'un exercice type à bien connaitre ( car parfois l'énoncé "saute" certaines étapes).
Malheureusement en Es on utilise de plus en plus la méthode "ingénieur".
@nicolas.patrois : au bac on ne leur demande plus rien à part de faire fonctionner la photocopieuse et 80% des élèves de ES seraient capables de faire cet exercice si on leur expliquait l'étape cruciale...

@JLT
Récurrence qui n'est pas au programme de première...(seulement en terminale S)

@nicolas.patrois
On donne toujours la suite auxiliaire en première et terminale.
Dans l'exercice, si on donne v(n)=u(n)-50 il n'y a rien d'insurmontable même pour un ES.
Pour tout entier naturel n , on a: v(n+1)=u(n+1)-50 (2)
=0.8u(n)+10-50 (1)
=0.8u(n)-40
=0.8(v(n)+50)-40 (2)
=08v(n)+40-40
=0.8v(n)
On en déduit que v(n) est une suite géométrique de raison 0.8 et de premier terme v(0)=u(0)-50=50
Le reste c'est du petit lait si l'élève connait son cours...
Cette étape demande un peu d'entrainement mais n'est pas insurmontable même pour des ES...
Si on appelle (1) la définition de la suite u(n) et (2) la définition de la suite v(n) cette étape qui est la plus "difficile" utilisera toujours dans l'ordre (2) (1) (2).
il y a une coquille dans l'expression de u(n) de YvesM
On a: u(n)=50*(0.8)^n+50

Le raisonnement ne demande aucune base donc si c'est trop compliqué pour eux je propose que l'on supprime les suites et les maths en général. ..que l'on abrège les souffrances de tout le monde une bonne fois pour toutes plutôt que de continuer cette mascarade...

Je parlais bien de celle-là, je ne comprends pas pourquoi on ne l’enseigne pas en lycée…

Pour répondre à la question d'origine, sans connaissance particulière.

U(n+1) - Un = -0,2 Un + 10

qui est négatif si Un > 50.

Pour prouver que Un reste > 50, bien que diminuant, on pose Un = 50 + an, an positif.
U(n+1) - Un = -0,2 an.

U(n+1) < Un et s'est rapproché de 50 d'une fraction seulement de an, quelle que soit la valeur de an.

Un ne peut descendre sous la valeur 50, et donc U(n+1) - Un < 0 quel que soit n.

Beaucoup de grand blabla, du flou...intuition et tutti quanti...rien de très précis.
"on peut s’intéresser au passage d’un mode de génération à un autre, et notamment à la recherche d’une formule explicite pour une suite définie d’une autre façon"
Débrouillez vous avec ça...