Analyse complexe fonction analytique

benhure · February 2019

Bonjour, j'ai un exercice sur une fonction holomorphe.
J'ai une série de terme général (2n+1)(z^2n)
Je trouve un rayon de convergence <1.
Je dois maintenant trouver une fonction f(z)=p(z)/q(z), fraction rationnelle bien définie qui coïncide avec ma série sur son disque de convergence.
Je ne sais absolument pas comment réussir à trouver l'expression de f.
Je sais simplement que f(0) = 1 donc p(0) = constante = q(0). J'ai donc le premier terme de p et q.
Merci d'avance pour votre aide

Chalk · February 2019

Si je lis bien ton terme général, ton rayon de convergence est faux, il vaut $1$.

Pour trouver la fraction rationnelle, remarque que $(2n+1)z^{2n}=(z^{2n+1})'$. Du coup ta série est (presque) la dérivée d'une série géométrique.

Fin de partie · February 2019

Tu sais que pour dériver la fonction définie par une série entière sur son disque ouvert de convergence il suffit de dériver terme à terme?

benhure · February 2019

Oui, désolé je voulais dire que le rayon de convergence est 1 exclu (la série diverge si |z| = 1)

On est d'accord que la série peut être dérivée mais je en vois pas comment je peux trouver mes 2 polynômes en dérivant ma série...

Chalk · February 2019

Tu ne connais pas la série géométrique ? Regarde ton cours, c'est une belle fraction rationnelle, et sa dérivée aussi du coup. Et comme on l'a déjà dit, ta série est quasiment la dérivée d'une série géométrique (il y a juste un $z$ à factoriser si je ne m'abuse).

Par ailleurs, on ne t'a jamais demandé de dériver ta série, mais au contraire de la primitiver.

benhure · February 2019

D'accord, je n'avait pas compris cela!
donc je peux intégrer ma série et trouver la fraction rationnelle qui coincide sans problème?
Le résultat semble marcher!
J'obtiens bien f(0)=1 et f(1) qui diverge!
Merci!

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