Différentielle

Nicolaz · February 2019

Bonjour,

Je ne suis pas à l'aise avec les notions de calcul différentiel (mais j'essaye de m'améliorer). Je tente de résoudre l'exercice (simple) ci-dessous.

Voilà ce que j'ai fait :

1) J'ai observé que $f(x,x^2)=\frac{1}{x} \to \infty$ (+ ou - dépendant du signe de $x$). J'en déduit que $f$ n'est pas continue en $(0,0)$

2) Je suppose que pour répondre il faut expliciter un DL1 de $f$ mais je n'arrive pas à le trouver.

3) Je ne sais pas quoi répondre .

4) La fonction $f$ n'étant pas continue en $(0,0)$ elle ne peut pas être différentiable en ce point.

Un peu d'aide serait la bienvenue. Merci d'avance. 84314

gerard0 · February 2019

Bonjour.

2) Il s'agit sans doute d'appliquer des théorèmes et propriétés de ton cours. Par exemple en utilisant des propriétés des fonctions partielles et dérivées partielles.
3) applique la définition des dérivées partielles : la dérivée partielle éventuelle par rapport à x est la dérivée de la fonction $x\mapsto ...$ en x=0, la dérivée partielle éventuelle par rapport à y est la dérivée de la fonction $y\mapsto ...$ en y=0.

Cordialement.

Chalk · February 2019

Tes réponses 1) et 4) sont parfaitement justes.

Pour la question 2) c'est à peine plus compliqué qu'avec les dérivés. Oui elle est différentiable en $(x,y)\neq 0$ en tant que quotient de deux fonctions différentiables, puis il faut appliquer la formule de la différentielle d'un quotient.

La 3) c'est un simple calcul de dérivée, en fixant $y=0$ ou $x=0$ selon la dérivée partielle considérée. Écris le taux d'accroissement pour $y=0$ (c'est donc une fonction de $x$), regarde si ce taux a une limite lorsque $x\to 0$. Par définition la dérivée partielle par rapport à $x$ existe en $(0,0)$ si et seulement si ce taux d'accroissement a une limite, c'est-à-dire si et seulement si $x\mapsto f(x,0)$ est dérivable en $0$. Il faut donc juste voir si $f(x,0)$ est dérivable ou non en $0$, le cas échéant la dérivée partielle est cette dérivée par définition.

Nicolaz · February 2019

Merci gerard0,

2)Il y a éfféctivement dans mon cours une propriété donnant la différentielle comme somme de dérivée partielle. Je vais essayer d'appliquer ça

3) On aurait donc $\frac{\partial f(0,0)}{\partial x} =\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=0$ ? ça me paraissait étrange.

Edit: merci pour ces précisions skyffer3 Je vais réfléchir à ce que tu as marqué.

Edit 2: en suivant vos indications voilà ce que j'ai trouvé :

2)$Df(x,y)=\frac{5x^4((y-x^2)^2+x^6)-x^5(2(y-x^2)(1-2x)+6x^5)}{((y-x^2)^2 + x^6)^2}$ Je n'ai pas réussi à simplifier de manière intéressante mais ça doit suffire.

3)on a $\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\frac{x^4}{x^4+x^6}=\frac{1}{1+x^2} \to 1 = \frac{\partial f(0,0)}{\partial x}$
de même, $\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=0 \to 0= \frac{\partial f(0,0)}{\partial y}$

Merci à vous deux, Skyffer3 et gerard0

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