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Un e.v. n. à base dénombrable

ZakariyaeZakariyae
dans Analyse
Bonjour à tous,
Il y a un résultat qui dit:
"Un evn admettant une base dénombrable n’est pas complet".
Mais, si $H$ est un espace d'Hilbert, alors il admet une base dénombrable (c'est la base hilbertienne) et il est complet !!
Merci pour toute éclaircissement

Réponses

  • Said FubiniSaid Fubini
    La définition d'une base hilbertienne est à revoir
  • ZakariyaeZakariyae
    Bonjour,dans l'énoncé "Un evn admettant une base dénombrable n’est pas complet", ici base c'est au sens algébrique ?
  • Said FubiniSaid Fubini
    oui comme $\C[X]$
  • ZakariyaeZakariyae
    Ok merci pour votre réponse
  • Said FubiniSaid Fubini
    un autre résultat bon à savoir: il existe des formes linéaires non continues dans un evn de dimension infinie.
  • PoirotPoirot
    Attention, un espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne (au plus) dénombrable, c'est faux en général.
  • vikoviko
    Bonjour,

    On peut commencer par établir un lemme dû à Baire : dans un espace complet une union au plus dénombrable de fermé d'intérieur vide est d'intérieur vide, le résultat suit
  • PoirotPoirot
    @viko : je ne pense pas que la question de Zakariyae était à propos de la démonstration de ce résultat.
  • PolVanoPolVano
    Bonsoir
    Poirot écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1772164,1772190#msg-1772190
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Je ne vois pas trop pourquoi vous affirmez cela. On a bien le résultat suivant : tout espace de Hilbert séparable est isométriquement isomorphe à l2(N) qui lui admet une base hilbertienne dénombrable.

    Merci d'avance,
  • TryssTryss
    @PolVano : Poirot dit que si on ne précise pas séparable, c'est faux : il existe des espaces de Hilbert qui ne sont pas isomorphes à l² (et ils ne sont bien sur pas séparables)
  • PolVanoPolVano
    Bonjour,

    Je m'excuse pour mon incompréhension.
    En effet, on pourrait prendre même le l2 des suites à carré sommable en prenant un ensemble d'indice qui n'est pas dénombrable.
  • AmathouéAmathoué
    Les espaces de Hilbert sont en effet, à isomorphisme près, les $l^2(I)$ où l’ensemble d’indice $I$ est en bijection avec une base hilbertienne quelconque. On a même une isométrie via $u \mapsto (<u,e_n>)_{n \in I}$.
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