Démonstration équation différentielle

mikess19731973
mikess19731973
dans Analyse
Bonsoir,
Je n’arrive pas à bien saisir la démonstration.Toutes les équivalences je ne les comprends pas.
Merci de votre aide.84342

Réponses

  • Dom
    Dom
    Prenons-les une par une, dans l'ordre.
    Précisons que $y$ et $a$ sont des fonctions définies sur $\mathbb R$ (par exemple, ou $I$ un intervalle).
    Et que $y$ est (au moins) $C^1$.

    Allez !

    Si ça coince, on le verra, et on se méfiera de ce corrigé, mais si ça ne coince pas, et bien on sera content de pouvoir se fier à ce corrigé.
  • mikess19731973
    mikess19731973
    Je ne vois pas du tout comment on passe la premiere implication.
    On a de l’exponentielle qui apparait mais pourquoi??
  • gerard0
    gerard0
    L'exponentielle apparaît parce que ça donne la suite (*), ce qui compte c'est que ce soit bien équivalent à ce qui précède. Tu sais évidemment prouver que c'est équivalent.

    Cordialement.

    (*) En fait, c'est une présentation rapide d'une chose bien connue de celui qui rédige cette preuve. Qui connaît déjà la solution (comme toujours dans une preuve).
  • gerard0
    gerard0
    Important :

    Quand on lit une démonstration, la première chose à faire est de voir si la preuve est correcte. Ne jamais commencer par se dire "Comment aurais-je pu penser à ça ?" Car une preuve peut avoir été peu à peu transformée pour que sa justesse soit facile à voir. Seul, on n'aurait pas pensé à ça.
    Ensuite, en la relisant, on peut voir d'où ça sort (pas toujours, ce que certains ont mis des années de réflexion à trouver n'a aucune raison d'être facile à imaginer). Ici, par exemple, c'est la solution qui guide le calcul.
  • mikess19731973
    mikess19731973
    Très bien
  • Dom
    Dom
    Une remarque (mais très importante !) : il manque des quantificateurs partout dans cet écrit.

    La première équivalence s'écrit plutôt :

    Quel que soit le réel $t$, $y'(t) + a(t)y(t)=0$ $\iff$ Quel que soit le réel $t$, $e^{A(t)}(y'(t) + a(t)y(t))=0$

    Enfin, on peut aussi écrire cela en omettant la variable $t$ mais ce n'est pas conseillé pour la preuve je trouve :

    $$y'+ay=0 \iff e^{A}(y' + ay)=0$$
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Mouais on peut aussi considérer que $a(t)$ est une écriture un peu abusive(*) pour désigner la fonction $a$.

    (*) en France c'est considéré comme un crime capital d'écrire la fonction $f(x)$ parce qu'on confond la fonction $f$ et $f(x)$ qui est la valeur prise par $f$ en $x$ mais bon quand on sait ce qu'on fait ca ne pose pas vraiment de problème, d'ailleurs dans la littérature étrangère notamment anglo-saxonne, il est fréquent de trouver cet abus de notation.
  • Dom
    Dom
    En effet Héhéhé c'est le mélange des genres (écrire $y$ - sans variable - et écrire $a(t)$) qui m'a étonné (même si j'ai déjà vu cela).

    Disons que cela servira à au moins un lecteur qui passera par ici dans la prochaine décennie ;-).
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