Matrices et système linéaire

Rob42
Rob42
dans Analyse
Bonjour à tous
Je bloque actuellement sur le problème suivant.

Soit $A\in M_{n,p}(\R)$ et $X$ un vecteur colonne à $n$ lignes.
On notera $X \in E_p$
On note $(E)$ l’équation matricielle $AX=B$
- $X$ est dite pseudo-solution de $(E)$ si :
Pour tout $Z,\ \| AX-B \| \le \| AZ-B \|.$
Montrer que pour tout $U \in E_p,\ {}~^{t\!}U~^t\!A(AX-B) \le 0.$

À la question précédente, j’ai su montrer que :
$\forall U \in E_p,\ \forall \lambda \in \R,\ \lambda^2\|AU\|^2-2\lambda {}~^{t\!}U~^t\!A(AX-B) \ge 0.$
Pourriez-vous me venir en aide ?
Merci d’avance.

[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. ;-) AD]

Réponses

  • Dom
    Dom
    Bonsoir,

    Une coquille sur les lignes et colonnes pour $X$ ?

    La présence de ce $\lambda$ laisse penser qu'on souhaite raisonner avec un trinôme du second degré, qui étant positif, aurait un discriminant négatif ou nul...

    Je n'ai pas tout compris mais sommes-nous sûr qu'il n'y a pas un terme constant dans la dernière inégalité qui commence par : $\forall U \in E_p, \forall \lambda \in R$ ?

    Je suis peut-être à côté de la plaque...

    Edit : Ne part-on pas, par exemple dans la question précédente de ce qui suit ?

    Pour tout $U$, pour tout $X$, pour tout $\lambda$, $^t (\lambda AU - (AX - B)) (\lambda AU - (AX - B)) \geq 0$

    On redémontre Cauchy-Schwarz, hum, autant l'utiliser...

    Edit 2 : avant de continuer, ce que tu as démontré (dans la question précédente) est-il valable "pour tout X" ou "pour tout X pseudo-solution" ?
  • Rob42
    Rob42
    Bonsoir tout d’abord merci pour ton aide.
    Je pense que l’idée initiale est bonne, non ?

    Le résultat que j’ai démontré c’est simplement pour tout X supposé pseudo-solution.

    Je n’ai pas tout à fait saisi ta remarque concernant l’inégalité de Cauchy
  • Dom
    Dom
    Ok.

    En fait, sans supposer $X$ pseudo-solution, je parviens à démontrer :
    Quel que soit $U$, quel que soit $X$, $^t (AU)(AX - B)\leq ||AU||.||AX-B||$

    En effet, en développant le membre de gauche de : $^t (\lambda AU - (AX - B)) (\lambda AU - (AX - B)) \geq 0$.

    J'obtiens après un raisonnement sur le trinôme en $\lambda$ que :
    $(^t (AU)(AX - B))^2 \leq ||AU||^2||AX-B||^2$

    Mais je ne parviens pas à conclure sur ce que tu veux... En fait, je ne sais pas utiliser que $X$ est pseudo-solution.

    Remarque :
    tout mon tralala c'est l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à $x=AU$ et $y=AX-B$ avec les notations qu'on trouve dans tous les cours et poly dont la formule de fin est : $|<x;y>|\leq ||x||.||y||$
  • Dom
    Dom
    Une remarque :
    En fouillant un peu, on peut démontrer que si $X$ est pseudo-solution, alors $^t\!AAX={}^t\!AB$.
    Du coup, si $X$ est pseudo-solution, $^t(AU)(AX-B)=0$ et l'inégalité devient triviale.
  • Rob42
    Rob42
    D’accord très bien merci.

    En fait l’hypothèse que X est pseudo-solution je l’utilise pour pouvoir démontrer mon inégalité.

    On pose $Z = X-\lambda U$ et on obtient le résultat donné précédemment en développant.
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