Système linéaire méthodes itératives
Bonjour,
Soit une méthode itérative basée sur la suite de vecteurs : $$
x^{(k+1)}=x^{(k)}-\alpha(Ax^{(k)} -b)
$$ J'ai réussi a montrer que cette méthodes est basée sur la décomposition $A=M-N$ avec $M=\frac{1}{\alpha}\times I$
On me demande de montrer que si $A$ est symétrique positive alors la méthode converge si et seulement si $\alpha$ est dans un intervalle que l'on précisera.
Je sais que la méthode converge si le rayon de spectrale de $M^{-1}N$ est inférieur à $1$. Mais après ?
Soit une méthode itérative basée sur la suite de vecteurs : $$
x^{(k+1)}=x^{(k)}-\alpha(Ax^{(k)} -b)
$$ J'ai réussi a montrer que cette méthodes est basée sur la décomposition $A=M-N$ avec $M=\frac{1}{\alpha}\times I$
On me demande de montrer que si $A$ est symétrique positive alors la méthode converge si et seulement si $\alpha$ est dans un intervalle que l'on précisera.
Je sais que la méthode converge si le rayon de spectrale de $M^{-1}N$ est inférieur à $1$. Mais après ?
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Réponses
Peut-être est-il possible de déterminer le spectre de $M^{-1}N$ en fonction de celui de $A$ ?
$A$ est diagonalisable.
De plus, on a $M^{-1}N=I-\alpha A$
C'est peut-être à partir de là que l'on trouve le spectre de $M^{-1}N$ en fonction de celui de $A$?
Soit $D$ la matrice contenant les valeurs propres de $A$ sur sa diagonale (rappelons que $A$ est diagonalisable à valeurs propres strictement positives)
$\det(I-\alpha A-\lambda I)=0$
est équivalent à
$\det(I-\alpha D-\lambda I)=0$
car $I-\alpha A-\lambda I$ est semblable à $I-\alpha D-\lambda I$
On a alors
$(1-\alpha \lambda_1 -\lambda)(1-\alpha \lambda_2 -\lambda)...(1-\alpha \lambda_n -\lambda)=0$
On obtient que les valeurs propres de $M^{-1}N$ sont
$1-\alpha \lambda_i$
avec $\lambda_i$ les valeurs propres de $A$.
Juste ?
On demande pour quelle valeur de $\alpha$ la méthode converge le plus rapidement. C'est pour $\alpha =\frac{2}{\lambda_{min}}$ car dans ce cas, le rayon spectral de $M^{-1}N$ vaut $0$.
Est-ce que quelqu'un pourrait confirmer ??
Cela signifierait que tous les $\lambda_i$ (valeur propre de $A$) sont égaux.
Quelqu'un peut confirmer ?
Merci.