Nature d'une série à paramètre
Bonjour,
nature de la série de terme général un=ln(n)/na
Si a<=0 la série diverge grossièrement.
Si a=1 elle diverge par comparaison avec la série harmonique.
Si a=2 $un=o(1/n3/2)$ donc la série converge
Je pressens que la série converge pour a>1, mais je n'arrive pas à le montrer correctement pour tout a>1 ?
Merci pour votre aide.
nature de la série de terme général un=ln(n)/na
Si a<=0 la série diverge grossièrement.
Si a=1 elle diverge par comparaison avec la série harmonique.
Si a=2 $un=o(1/n3/2)$ donc la série converge
Je pressens que la série converge pour a>1, mais je n'arrive pas à le montrer correctement pour tout a>1 ?
Merci pour votre aide.
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Réponses
Pour $a>1$, choisis $a'$ strictement compris entre $1$ et $a$, par exemple $a'=\frac{1+a}2$, et compare à $1/n^{a'}$.
Il me manque un argument : on peut choisir b ou a' car R est continu ? ou dense...?
Vu les questions que tu poses sur ce forum, je pense que tu as le niveau de réfléchir 5 minutes et de voir pourquoi il existe $b \in \mathbb R$ tel que $1 < b < a$. Si tu ne trouves pas, relis le message de Math Coss.
On fait des maths là, si tu penses qu'en sortant des mots savants au hasard ça peut donner une réponse juste tu te trompes. La seule réponse juste c'est d'établir une démonstration rigoureuse dont tout le monde peut se convaincre que le raisonnement aboutit mécaniquement au résultat.
Je voulais juste dire que R est un ensemble continu par opposition à N qui est discret (et pas dense dans R) , et là dans N on ne peut pas nécessairement choisir un nombre entier entre 2 entiers naturels.
Mais c'est sans doute hors sujet (autrement dit on s'en fout :-D) et je vais reprendre l'argument de MathCoss qui propose la "moyenne" de 1 et a et en effet c'est pertinent !
Après qu'entends-tu par " aboutit mécaniquement au résultat " ? comme tu le dis on est en maths là, on n'est pas en physique :-)
Par ailleurs, il existe des sous-ensembles de $\mathbb R$ non discrets tels qu'on ne peut pas forcément trouver un nombre entre deux nombres dans ce sous-ensemble. Si tu connaissais la définition tu t'en serais immédiatement rendu compte.
"Aboutit mécaniquement au résultat" ça veut donc dire l'opposé de ce que tu fais, i.e. ne pas balancer des mots au hasard en espérant faire illusion mais en n'ayant rien démontré :-)
Pourquoi parler d'ensemble continu si tu ne sais pas le définir ? Pourquoi parler de densité alors qu'un espace topologique $A$ est toujours dense dans $A$ ? Dis simplement que tu aimerais de l'aide pour prouver qu'il existe $b \in ]1,a[$, mais n'invente pas des concepts fumeux. Imagine qu'on t'aurait dit oui, la densité de $\mathbb R$ prouve cet existence. Tu serais reparti confiant alors sans avoir compris (et c'est bien normal puisque c'est faux).
C'est pour t'aider que je dis cela. Tant que tu n'inventes rien tu restes dans les maths. A partir du moment ou tu inventes des trucs sans comprendre, tu sors des règles du jeu, et là le pire peut advenir (mathématiquement parlant).
Bon enfin je sens que ça va encore partir en polémiques dont seul ce forum a le secret :-D