Question à propos d'un exercice
Bonjour
J'ai une question à propos des hypothèses d'un exercice.
On considère une fonction de $\R^{n}$ vers $\R$ différentiable en $0$ et telle que pour tout $x$ non nul et pour tout $t$ réel strictement positif, cette fonction vérifie $f(tx)=tf(x)$. La question est de montrer que la fonction est linéaire.
Pour résoudre cet exercice la seule chose qu'on utilise c'est le fait que $f$ est différentiable en $0$ et bien sûr que $f(tx)=tf(x)$. On dira que pour rendre l'exercice non trivial cette égalité est vraie pour tout $x$ non nul, mais il suffit en fait qu'elle soit vraie pour un seul élément et pour tout $t$ dans un voisinage de $0$ (même pas strictement positif).
Je me demande s'il y a des fonctions spéciales qui vérifient $f(tx)=tf(x)$ et que l'exercice est simplement une introduction pour l'étude de celles-ci ?
Merci d'avance.
[En $\LaTeX$, c'est toute expression mathématique que l'on encadre par des $\$$. ;-) AD]
J'ai une question à propos des hypothèses d'un exercice.
On considère une fonction de $\R^{n}$ vers $\R$ différentiable en $0$ et telle que pour tout $x$ non nul et pour tout $t$ réel strictement positif, cette fonction vérifie $f(tx)=tf(x)$. La question est de montrer que la fonction est linéaire.
Pour résoudre cet exercice la seule chose qu'on utilise c'est le fait que $f$ est différentiable en $0$ et bien sûr que $f(tx)=tf(x)$. On dira que pour rendre l'exercice non trivial cette égalité est vraie pour tout $x$ non nul, mais il suffit en fait qu'elle soit vraie pour un seul élément et pour tout $t$ dans un voisinage de $0$ (même pas strictement positif).
Je me demande s'il y a des fonctions spéciales qui vérifient $f(tx)=tf(x)$ et que l'exercice est simplement une introduction pour l'étude de celles-ci ?
Merci d'avance.
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Réponses
Par exemple, en dimension $2$, si on pense un vecteur non nul $x\in\R^2$ comme un complexe, disons $x=(x_1,x_2)=x_1+x_2\mathrm{i}$ et si on note $(\rho,\theta)$ son module et un argument, les fonctions $f$ qui conviennent sont celles de la forme $f(x)=rg(\theta)$, avec $g:\R\to\R$ quelconque périodique de période $\pi$.
Rectification : ajout du $r$ dans $rg(\theta)$.
Vous avez raison pour le premier point. Seulement, vous prenez déjà une fonction $f$ telle que $f(0)=0$.
Prenez une fonction $f$ qui vérifie : $f(tx_{0})=tf(x_{0})$ pour le seul élément $x_{0}$ et pour tout $t$ dans un voisinage de $0$. Alors par continuité de $f$ en $0$ et en tendant $t$ vers $0$ on obtient $f(0)=0$. C'est ce que je voulais dire.
Pour le second point je ne vois pas trop pourquoi $f$ serait constante sur les droites qui passent pas l'origine. Si on prend la droite $y=x$ par exemple, deux éléments de cette droite sont $2x$ et $3x$, et pourtant $f(2x)=2f(x)$ et $f(3x)=3f(x)$, dire que $f$ est constante sur cette droite revient à dire que $f(2x)=f(3x)$ donc $2f(x)=3f(x)$ donc $f(x)=0$. Et dire que $f$ est constante sur toutes les droites passant par l'origine cela veut dire qu'elle est constante sur tous les $Vect({x})$ ($ f$ définie sur un espace vectoriel normé), et on trouve que $f(x)=0$ pour tout $x$ donc $f$ est identiquement nulle.
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