Deux définitions de la transformé de Fourier

Si $g$ est Schwartz alors $\|g\|^2_{L^2} = \frac1{2\pi} \|\hat{g}\|^2_{L^2}$ (c'est une conséquence du théorème d'inversion de Fourier et de $\int_{-\infty}^\infty \hat{g}(y) h(y)dy=\int_{-\infty}^\infty g(y) \hat{h}(y)dy $ avec $h = \overline{\hat{g}}$)

Par densité ça reste vrai pour $g \in L^1 \cap L^2$.

Donc si $f \in L^2$ alors $f_n = f 1_{|.| < n}\in L^1 \cap L^2$ et $f_n\to f$ dans $ L^2$ donc $\hat{f_n}$ est Cauchy dans $L^2$ et donc converge, vers une limite qu'on appelle $\hat{f}$, de là on montre facilement que tout marche bien.