Résoudre $M\ddot x+C\dot x+Kx=0$ en matriciel
dans Analyse
Bonjour
Tout le monde connaît l'équation d'un oscillateur amorti $m\ddot x + c\dot x + kx=0$ dans le cas scalaire. Est-ce que ça se peut se résoudre facilement dans le cas matriciel ($M$, $C$, et $K$ matrices carrées) sans passer par l'ordre 1, mais plutôt comme le cas scalaire (en posant $x = e^{\lambda t}x_0$, etc.) ? Mon problème est que je ne vois pas le sens de $\lambda$ dans l'équation $\lambda^2 M + \lambda C + K =0$ si $M$, $C$, et $K$ ne sont pas simultanément diagonalisable, et donc pas non plus la discussion sur le signe de $\lambda$.
En passant au premier ordre c'est facile: $X' = AX$ donc $X(t) = e^{At}X_0$ mais ça reste général et n'utilise pas la structure particulière de $$
A = \begin{bmatrix} 0 & I \\ -M^{-1} K & -M^{-1}C\end{bmatrix}
$$ Merci.
Tout le monde connaît l'équation d'un oscillateur amorti $m\ddot x + c\dot x + kx=0$ dans le cas scalaire. Est-ce que ça se peut se résoudre facilement dans le cas matriciel ($M$, $C$, et $K$ matrices carrées) sans passer par l'ordre 1, mais plutôt comme le cas scalaire (en posant $x = e^{\lambda t}x_0$, etc.) ? Mon problème est que je ne vois pas le sens de $\lambda$ dans l'équation $\lambda^2 M + \lambda C + K =0$ si $M$, $C$, et $K$ ne sont pas simultanément diagonalisable, et donc pas non plus la discussion sur le signe de $\lambda$.
En passant au premier ordre c'est facile: $X' = AX$ donc $X(t) = e^{At}X_0$ mais ça reste général et n'utilise pas la structure particulière de $$
A = \begin{bmatrix} 0 & I \\ -M^{-1} K & -M^{-1}C\end{bmatrix}
$$ Merci.
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Réponses
Pour déterminer les valeurs propres de $A$, ce n'est pas évident. Le polynôme caractéristique est au signe près \[\chi_A(\lambda)=\det\begin{pmatrix}-K&-C-\lambda\mathrm{I}_n\\-\lambda\mathrm{I}_n&\mathrm{I}_n\end{pmatrix},\] que l'on calcule grâce au complément de Schur pour obtenir, sauf erreur : \[\chi_A(\lambda)=\pm\det\bigl(-K-(-C-\lambda\mathrm{I}_n)\mathrm{I}_n(-\lambda\mathrm{I}_n\bigr)\det(\mathrm{I}_n)
=\pm\det(\lambda^2\mathrm{I}_n+\lambda C+K).\] Cela donne au moins une interprétation de l'équation que tu as écrite.
Se ramener à une équation de la forme $AY’=BY$ avec $A=diag(I,M)$. Si $M$ est inversible, $A$ l’est aussi et on a fini.