Continuité d’une réciproque paramétrée
Bonjour,
Supposons que $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ soit une fonction continue et que pour tout $\alpha \in \mathbb R$, il existe un unique $x_{\alpha} \in \mathbb R$ tel que $f(x_\alpha, \alpha)=0$.
Est-ce $\alpha \mapsto x_\alpha$ est continue?
Sous de bonnes hypothèses de differentiabilité de $f$, la réponse est positive. Mais sans ces hypothèses?
Merci!
Supposons que $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ soit une fonction continue et que pour tout $\alpha \in \mathbb R$, il existe un unique $x_{\alpha} \in \mathbb R$ tel que $f(x_\alpha, \alpha)=0$.
Est-ce $\alpha \mapsto x_\alpha$ est continue?
Sous de bonnes hypothèses de differentiabilité de $f$, la réponse est positive. Mais sans ces hypothèses?
Merci!
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Réponses
Que penses-tu de $f(x,y)=\begin{cases}y \text{ si } x\ge0\\y+1 \text{ si } x<0\end{cases}$ ?
Cordialement.
J'en pense que $f$ n'est pas continue (à l'origine en particulier) contrairement à l'hypothèse souhaitée!
Cela suggère que les « bonnes hypothèses de différentiabilité », comme la non-annulation d'une dérivée première pour faire des fonctions implicites, sont bien utiles.