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Deuxième formule de la moyenne

Envoyé par Audeo 
Deuxième formule de la moyenne
il y a sept mois
Bonjour,

Je m'intéresse à ce document et plus particulièrement à la "remarque assez subtile 4" : je ne parviens pas à montrer que la formule $$ \int_a^b f(t)g(t)\mathrm dt=g(a)\int_a^c f(t)\mathrm dt$$ vaut avec un $c\in\mathopen]a,b\mathclose[\kern0.4pt$ si $g$ n'est pas constante sur $\mathopen]a,b\mathclose[$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Audeo.
Re: Deuxième formule de la moyenne
il y a sept mois
Supposons $f\in\mathcal C^0([a,b])$, $g\in\mathcal C^1([a,b])$ et posons, pour tout $x\in[a,b]$, $F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm dt$.

On sait qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $\int_a^b f(t)g(t)\mathrm dt=g(a)\int_a^c f(t)\mathrm dt=g(a)F(c)$.

Par parties, $\int_a^b f(t)g(t)\mathrm dt=[(F(t)-F(c))g(t)]_a^b-\int_a^b (F(t)-F(c))g'(t)\mathrm dt$.

Il suit : $\int_a^b (F(t)-F(c))g'(t)\mathrm dt=(F(b)-F(c))g(b)$.

Posons, pour tout $x\in[a,b]$, $G(x)=F(x)-F(c)$.

On a donc : $(\ast)\:\int_a^b G(t)g'(t)\mathrm dt=G(b)g(b)$.

Supposons alors que $G$ ne s'annule pas sur $]a,b[$. Comme $G$ est continue sur $[a,b]$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, on a $G(x)>0$ pour tout $x\in]a,b[$ ou bien $G(x)<0$ pour tout $x\in]a,b[$. Mais $g(b)\geq 0$ (car $g$ est positive sur $[a,b]$) et $g'(t)\leq 0$ pour tout $t\in[a,b]$ (car $g$ est décroissante sur $[a,b]$). Donc, en revenant à $(\ast)$, $\int_a^b G(t)g'(t)\mathrm dt=G(b)g(b)=0$, puis $G(t)g'(t)=0$ pour tout $t\in[a,b]$ et $g'(t)=0$ pour tout $t\in]a,b[$, ce qui est exclu.

Ainsi, il existe $c'\in]a,b[$ tel que $G(c')=0$, c'est-à-dire tel que $F(c')=F(c)$, donc tel que $\int_a^b f(t)g(t)\mathrm dt=g(a)\int_a^{c'} f(t)\mathrm dt$.

Si quelqu'un a une idée pour le cas général...
Re: Deuxième formule de la moyenne
il y a sept mois
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