Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
185 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Deuxième formule de la moyenne

Envoyé par Audeo 
Deuxième formule de la moyenne
l’an passé
Bonjour,

Je m'intéresse à ce document et plus particulièrement à la "remarque assez subtile 4" : je ne parviens pas à montrer que la formule $$ \int_a^b f(t)g(t)\mathrm dt=g(a)\int_a^c f(t)\mathrm dt$$ vaut avec un $c\in\mathopen]a,b\mathclose[\kern0.4pt$ si $g$ n'est pas constante sur $\mathopen]a,b\mathclose[$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Audeo.
Re: Deuxième formule de la moyenne
l’an passé
Supposons $f\in\mathcal C^0([a,b])$, $g\in\mathcal C^1([a,b])$ et posons, pour tout $x\in[a,b]$, $F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm dt$.

On sait qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $\int_a^b f(t)g(t)\mathrm dt=g(a)\int_a^c f(t)\mathrm dt=g(a)F(c)$.

Par parties, $\int_a^b f(t)g(t)\mathrm dt=[(F(t)-F(c))g(t)]_a^b-\int_a^b (F(t)-F(c))g'(t)\mathrm dt$.

Il suit : $\int_a^b (F(t)-F(c))g'(t)\mathrm dt=(F(b)-F(c))g(b)$.

Posons, pour tout $x\in[a,b]$, $G(x)=F(x)-F(c)$.

On a donc : $(\ast)\:\int_a^b G(t)g'(t)\mathrm dt=G(b)g(b)$.

Supposons alors que $G$ ne s'annule pas sur $]a,b[$. Comme $G$ est continue sur $[a,b]$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, on a $G(x)>0$ pour tout $x\in]a,b[$ ou bien $G(x)<0$ pour tout $x\in]a,b[$. Mais $g(b)\geq 0$ (car $g$ est positive sur $[a,b]$) et $g'(t)\leq 0$ pour tout $t\in[a,b]$ (car $g$ est décroissante sur $[a,b]$). Donc, en revenant à $(\ast)$, $\int_a^b G(t)g'(t)\mathrm dt=G(b)g(b)=0$, puis $G(t)g'(t)=0$ pour tout $t\in[a,b]$ et $g'(t)=0$ pour tout $t\in]a,b[$, ce qui est exclu.

Ainsi, il existe $c'\in]a,b[$ tel que $G(c')=0$, c'est-à-dire tel que $F(c')=F(c)$, donc tel que $\int_a^b f(t)g(t)\mathrm dt=g(a)\int_a^{c'} f(t)\mathrm dt$.

Si quelqu'un a une idée pour le cas général...
Re: Deuxième formule de la moyenne
l’an passé
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 140 819, Messages: 1 377 868, Utilisateurs: 25 679.
Notre dernier utilisateur inscrit [Feuille].


Ce forum
Discussions: 31 494, Messages: 291 535.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page