Sobolev

il n'y a pas de sauts dans $v$, donc la dérivée au sens des distributions est la dérivée au sens usuelle. On a
$$
v'(x)
=
\begin{cases}
0 &: x \leq -1\\
-1 &: -1 \leq x \leq 0\\
1 &: 0 \leq x \leq 1\\
0 &: 1 \leq x
\end{cases}
$$
Ainsi on a $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |v'(x)|^2 dx = \displaystyle\int_{-1}^0 dx + \displaystyle\int_0^1 dx =1-1=0 < +\infty$. Donc $v' \in L^2(\R)$.

Par contre, si on regarde si $v \in L^2(\R)$, on trouve que
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |v|^2 dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{-1} dx + \displaystyle\int_{-1}^0 x dx + \displaystyle\int_0^1 x dx + \displaystyle\int_1^{+\infty} dx.
$$
On sait que $\displaystyle\int_{-\infty}^{-1} dx =+\infty$ et $\displaystyle\int_1^{+\infty} dx =+\infty$, ce qui implique que $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |v|^2 dx$ n'est pas finie, et donc $v$ n'est pas dans $L^2(\R)$ et par conséquent pas dans $H^1(\R)$.
Du coup je trouve plus logique c'est la question d'avant est: montrer que $v \in H^1([-1,1])$ au lieu de $H^1([-2,2])$. Non?

Bien cordialement