Convergence normale

Deadbefore · February 2019

Bonjour, je cherche à montrer la convergence normale de $\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(1+nx^2)}{2^n}$ sur $\mathbb R$.
J'ai essayé de majorer le terme général par : $\ \frac{1+n^2a}{2^n}$ pour tout $x\leq a$
Ensuite il faudrait montrer que la série de terme général $\frac{1+n^2a}{2^n}$ converge et c'est bon sauf que je ne sais pas comment faire, série géométrique ? (Critère de d'Alembert ne marche pas, je ne trouve pas d'équivalent non plus)

Tryss · February 2019

quelque soit $n>0$, $\frac{\ln(1+nx^2)}{2^n}$ n'est pas bornée sur $\mathbb{R}$, donc aucune chance d'avoir une convergence normale.

Deadbefore · February 2019

C'est bien ce que j'ai précisé, il faut prendre donc un intervalle de la forme [-a;a], a un réel

Chalk · February 2019

Tryss répond à ta phrase "je cherche à montrer la convergence normale sur $\R$". Ta façon de faire montrera la convergence normale sur tout compact mais certainement pas sur $\R$.

Le critère de d'Alembert marche pourtant.

gerard0 · February 2019

Bonjour.

Donc le message initial est faux. Il s'agit de convergence normale sur tout intervalle [-a, a]. Pas sur $\mathbb R$ (et tu n'as rien précisé du tout, tu as seulement mélangé deux idées différentes.

Ensuite, en majorant par $\frac {1+na^2}{2^n}$ (à justifier proprement), pas de problème, le critère de D’Alembert permet bien de conclure à la convergence de la série simple.

Bon travail !

Deadbefore · February 2019

Autant pour moi, en effet le critère de d'Alembert marche, j'ai trouvé 1/2 donc c'est bon

Convergence normale

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Bonjour!

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