Le resultat est elementaire seulement si $k\leq 0.$ car alors la transformation de Boole $x\mapsto x+\frac{k}{x}$ preserve la mesure de Lebesque sur TOUT $\R.$ Pas d'espoir si $k>0.$
En fait, je cherche : $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\exp\left(-\frac{k^2 x^2}{2}-\frac{s}{x^2}\right)\,dx$ pour $s>0$ et je me demande comment on trouve $ \frac{\sqrt{2\pi}}{k}e^{-k\sqrt{2s}}$, ce qui ne me semble pas absurde au regard d'autres sources que j'ai pu voir.
À des constantes près, ceci se ramène à en complétant le carré et en sortant une constante multiplicative de l'intégrande à : $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-a(x+\frac{k}{x})^2} dx$ avec d'autres constantes $a,k>0$ (attention au signe - en facteur)
Pour $a>0, b>0$, on montre que $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} dx \exp(-a x^2-{b\over x^2})={1\over 2} \sqrt{{\pi \over a}} \exp(-2 \sqrt{ab})$.
Avec le résultat sous les yeux tu devrais faire la démonstration par changement de variables...
Pour suivre le conseil de YM, il faut le changement de variable $y=x\sqrt{a}-\frac{\sqrt{b}}{x}$ mais il y a une grosse astuce, et tu dois d'abord ecrire ton integrale sur $\R.$ Un autre choix pour demontrer la formule est de faire une derivation par rapport a $a$ et tomber sur une equation difefrentielle.
Sincèrement, quelque chose doit m'échapper !
Avec ce changement de variable (j'avais bien compris que c'est celui-ci qu'il fallait faire), j'obtiens pour dy quelque chose d'inexploitable à cause du 1/x et je ne vois vraiment pas. Je vois bien que l'on veut se ramener à l'intégrale de Gauss mais je ne comprends pas. Quand à passer sur R, je ne vois pas ce que cela change.
Par parité l’integrale vaut la moitié de l’integrale sur tous les réels. Puis écris le changement de variables donné par @P. dans le message au-dessus. Pour inverser, c’est une équation du second degré donc facile : on trouve deux racines... l’une positive l’autre négative... et une simplification apparaît... essaie encore.
Pour ceux qui passeraient sur ce fil un jour, je cherchais : $\displaystyle I(s) =\int_0^{+\infty} e^{-\frac{a^2}{4} \left( u - \frac{2\sqrt{s}}{a} \frac{1}{u} \right)^2 } \,\mathrm{d} u$ pour $a,s>0$. Voici mon raisonnement :
Déterminons $I(s)$ par changement de variable en partant de l'intégrale de Gauss. On a d'une part : $$
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{a^2}{4}x^2} \,\mathrm{d} x \underset{u=\frac{a}{2}x}{=}
\frac{2}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} \,\mathrm{d} u = \frac{2}{a} \sqrt{\pi}.
$$ D'autre part, dans l'intégrale ci-dessus, effectuons le changement de variable $x=\varphi(u)=u - \frac{2\sqrt{s}}{a} \frac{1}{u}$. Ce changement de variable est licite car $\varphi$ est strictement croissante (puisque $a>0$) et de classe $\mathscr{C}^1$ de $]0;+\infty[$ dans $\R$ tout entier. On a :
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{a^2}{4}x^2} \,\mathrm{d} x &\underset{x=\varphi(u)}{=}
\int_0^{+\infty} e^{-\frac{a^2}{4} \left( u - \frac{2\sqrt{s}}{a} \frac{1}{u} \right)^2 } \left( 1 + \frac{2\sqrt{s}}{a} \frac{1}{u^2} \right) \,\mathrm{d} u \\
&= I(s) + \frac{2\sqrt{s}}{a} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-\frac{a^2}{4} \left( u - \frac{2\sqrt{s}}{a} \frac{1}{u} \right)^2 }}{u^2} \,\mathrm{d} u\\
& \underset{x=\frac{2\sqrt{s}}{au}}{=} I(s) + \frac{2\sqrt{s}}{a} \left( -\frac{a}{2\sqrt{s}} \right) \int_{+\infty}^0 e^{-\frac{a^2}{4} \left(- \frac{2\sqrt{s}}{a} \frac{1}{x} + x \right)^2 } \,\mathrm{d} x\\
& = 2I(s)
\end{align*} Et donc : $I(s) = \frac{1}{2} \frac{2}{a} \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{a}$.
Tu peux calculer pour toute fonction $f$ continue $\int_{\R} dx f(x)$ en fonction de $\int_{0}^{+\infty} dx f(x+1/x)$... par le même changement de variables.
Une généralisation:
pour $f$ continue sur $[2,+\infty[$ on a $\displaystyle\int_0^{+\infty}f\left(x^2+\frac1{x^2}\right)\;dx=\int_0^{+\infty}f(t^2+2)\;dt$ dès que l'une des deux intégrales existe.
Réponses
J'ai bien envisagé (et essayé) ce changement de variable mais ça me donne des choses encore plus compliquée) à cause du $du$
https://math.stackexchange.com/questions/2203907/laplace-transform-of-erfc-frack2-sqrt-t
Mais effectivement, on me revoie sur un "Glasser master theorem" qui concerne $k<0$.
Que penser alors de la solution donnée dans ce message ?
À des constantes près, ceci se ramène à en complétant le carré et en sortant une constante multiplicative de l'intégrande à : $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-a(x+\frac{k}{x})^2} dx$ avec d'autres constantes $a,k>0$ (attention au signe - en facteur)
Pour $a>0, b>0$, on montre que $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} dx \exp(-a x^2-{b\over x^2})={1\over 2} \sqrt{{\pi \over a}} \exp(-2 \sqrt{ab})$.
Avec le résultat sous les yeux tu devrais faire la démonstration par changement de variables...
Avec ce changement de variable (j'avais bien compris que c'est celui-ci qu'il fallait faire), j'obtiens pour dy quelque chose d'inexploitable à cause du 1/x et je ne vois vraiment pas. Je vois bien que l'on veut se ramener à l'intégrale de Gauss mais je ne comprends pas. Quand à passer sur R, je ne vois pas ce que cela change.
Eurêka !
Merci pour votre aide.
Par parité l’integrale vaut la moitié de l’integrale sur tous les réels. Puis écris le changement de variables donné par @P. dans le message au-dessus. Pour inverser, c’est une équation du second degré donc facile : on trouve deux racines... l’une positive l’autre négative... et une simplification apparaît... essaie encore.
Déterminons $I(s)$ par changement de variable en partant de l'intégrale de Gauss. On a d'une part : $$
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{a^2}{4}x^2} \,\mathrm{d} x \underset{u=\frac{a}{2}x}{=}
\frac{2}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} \,\mathrm{d} u = \frac{2}{a} \sqrt{\pi}.
$$ D'autre part, dans l'intégrale ci-dessus, effectuons le changement de variable $x=\varphi(u)=u - \frac{2\sqrt{s}}{a} \frac{1}{u}$. Ce changement de variable est licite car $\varphi$ est strictement croissante (puisque $a>0$) et de classe $\mathscr{C}^1$ de $]0;+\infty[$ dans $\R$ tout entier. On a :
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{a^2}{4}x^2} \,\mathrm{d} x &\underset{x=\varphi(u)}{=}
\int_0^{+\infty} e^{-\frac{a^2}{4} \left( u - \frac{2\sqrt{s}}{a} \frac{1}{u} \right)^2 } \left( 1 + \frac{2\sqrt{s}}{a} \frac{1}{u^2} \right) \,\mathrm{d} u \\
&= I(s) + \frac{2\sqrt{s}}{a} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-\frac{a^2}{4} \left( u - \frac{2\sqrt{s}}{a} \frac{1}{u} \right)^2 }}{u^2} \,\mathrm{d} u\\
& \underset{x=\frac{2\sqrt{s}}{au}}{=} I(s) + \frac{2\sqrt{s}}{a} \left( -\frac{a}{2\sqrt{s}} \right) \int_{+\infty}^0 e^{-\frac{a^2}{4} \left(- \frac{2\sqrt{s}}{a} \frac{1}{x} + x \right)^2 } \,\mathrm{d} x\\
& = 2I(s)
\end{align*} Et donc : $I(s) = \frac{1}{2} \frac{2}{a} \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{a}$.
Merci encore pour votre aide précieuse.
Tu peux calculer pour toute fonction $f$ continue $\int_{\R} dx f(x)$ en fonction de $\int_{0}^{+\infty} dx f(x+1/x)$... par le même changement de variables.
pour $f$ continue sur $[2,+\infty[$ on a $\displaystyle\int_0^{+\infty}f\left(x^2+\frac1{x^2}\right)\;dx=\int_0^{+\infty}f(t^2+2)\;dt$ dès que l'une des deux intégrales existe.