Forme de Jacobi de l'intégrale elliptique
Bonjour,
L'intégrale elliptique incomplète de 1ère espèce s'écrit (sous forme trigonométrique) : $ F(\varphi,k)=\int_{0}^{\varphi} \frac{1}{\sqrt{1-k^2 \sin^2(\theta)}} \mathrm{d}\theta $.
Et il est noté un peu partout que si l'on fait le changement de variable $t=\sin(\theta)$, on peut la réécrire sous la forme de Jacobi : $F(x,k)=\int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{ (1-t^2)(1-k^2 t^2) }} \mathrm{d}t$, où l'on a simplement posé $x=\sin(\varphi)$...
Bon, très bien, mais, $t=\sin(\theta) \Rightarrow \mathrm{d}t=\cos(\theta)\mathrm{d}\theta$, et $\cos(\theta)=\pm\sqrt{1-\sin^2(\theta)}=\pm\sqrt{1-t^2}$
Je me demande pourquoi, sous la forme de Jacobi, on utilise l'écriture positive de $\cos(\theta)$ ?
L'intégrale elliptique incomplète de 1ère espèce s'écrit (sous forme trigonométrique) : $ F(\varphi,k)=\int_{0}^{\varphi} \frac{1}{\sqrt{1-k^2 \sin^2(\theta)}} \mathrm{d}\theta $.
Et il est noté un peu partout que si l'on fait le changement de variable $t=\sin(\theta)$, on peut la réécrire sous la forme de Jacobi : $F(x,k)=\int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{ (1-t^2)(1-k^2 t^2) }} \mathrm{d}t$, où l'on a simplement posé $x=\sin(\varphi)$...
Bon, très bien, mais, $t=\sin(\theta) \Rightarrow \mathrm{d}t=\cos(\theta)\mathrm{d}\theta$, et $\cos(\theta)=\pm\sqrt{1-\sin^2(\theta)}=\pm\sqrt{1-t^2}$
Je me demande pourquoi, sous la forme de Jacobi, on utilise l'écriture positive de $\cos(\theta)$ ?
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Réponses
Certes, mais bien que j'ai cherché avec application, je n'ai pas trouvé de document précisant que l'intégrale elliptique n'est valable que pour un $\varphi$ proche de $0$... A chaque fois, on écrit $\int_{0}^{\varphi}$, en ne définissant jamais quel est l'intervalle approprié pour $\varphi$.
Est-ce qu'il y a une définition / convention que j'aurais sautée ?
Note par ailleurs qu'en sens inverse, poser $x=\sin\varphi$ pour $x$ plus grand que $1$ est un peu périlleux.
[Edit : séparation plus explicite des deux parties indépendantes du message.]
Oui, mais qui parle de $x>1$ ? Dans l'écriture de l'intégrale, $\theta$ est une variable entre $0$ et $\varphi$ ; on peut toujours calculer $\sin(\theta)$, donc $t$ existe bien.
Quand $\theta=\varphi$, la nouvelle variable $t$ devient égale à $\sin(\varphi)$. L'intégrale se réécrit (si l'on accepte la convention du $cos$ positif :
$\int_{0}^{\sin(\varphi)} \frac{1}{\sqrt{ (1-t^2)(1-k^2 t^2) }} \mathrm{d}t$
Qu'est-ce qui empêche de poser $\sin(\varphi)=x$ et qu'est-ce qui ferait que $x$ serait plus grand que $1$ ?
M.