Somme de deux fonctions périodiques

Cette aide, cher gambitro, allait venir, c'était dans ma suite logique.
J'attendais de savoir comment tu allais écrire les choses, pour aller plus loin...

Bien souvent, c'est en écrivant ce que l'on veut démontrer que l'on parvient à quelque chose, par soi-même.

Ici, en effet, une égalité étant valable "pour tout $x$", il suffisait d'appliquer pour $x=0$ et de voir ce que l'on pouvait en déduire...

Je complète un peu les messages précédents.

Ta fonction rentre même dans la classe des fonctions quasi-périodiques, qui sont un cas particulier de fonctions presque périodiques et qui interviennent naturellement dans les systèmes dynamiques. Par exemple, si tu cherches les solutions bornées sur $\R$ d'un système linéaire autonome (i.e. dont la formule de dépend pas de $x$), donc de la forme $Y'=AY$, les seules soutions bornées en sont les solutions quasi-périodiques.

Traiter la somme de deux cosinus se fait très simplement comme déjà indiqué, par exemple en résolvant $f(x)=2$. Je te propose une méthode qui nécessite davantage de background mais qui permet de traiter très rapidement des situations plus générales. Supposes que ta fonction (qui a toutes les bonnes hypothèses de régularité) soit une fonction $T-$périodique. Alors la série de Fourier de $f$ ne fait apparaître que des termes avec des exponentielles de la forme $e^{2i\pi t/T}$, donc en particulier deux exponentielles $e^{i\alpha t}$ et $e^{i\beta t}$ qui interviennent dans la série sont telles que $\beta/\alpha$ soit rationnel (ou bien $\alpha$ nul). Est ce possible dans ce cas ? Avec ce genre d'argument, on voit que la somme de deux fonctions périodiques (régulières) non constantes ne sera pas périodique lorsque le rapport des périodes est irrationnel (et la réciproque est visiblement vraie).

c'est le cercle unité (l'ensemble des complexes de module 1).

Même pour parler de fonctions quasi-périodiques, on le noterait plutôt $\mathbb T$. En effet, les fonctions quasi-périodiques de module de fréquence libre de type fini $m$ à base fixée sont vues comme des fonctions définies sur le tore $\mathbb T^m$, et cela permet ensuite d'aller vers la théorie KAM.