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Intégrale inégalité — Les-mathematiques.net
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Analyse
Intégrale inégalité
etanche
March 2019
dans
Analyse
Bonjour,
$f(t)=e^{-t}\sin(2t)-e^{-2t}\sin(t)$
Montrer que $$
\sup_{a>0}\Bigg| \int_{a}^{\infty} \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \frac{\pi}{2\sqrt{2}}.
$$
M
erci
.
Réponses
etanche
March 2019
Quelqu'un voi
t
attaquer cet exo ?
M
erci
J'avais not
é
f(a) la fonction dans la valeur absolue
le calcul de la dérivée se fait mais l'étude du signe n'est pas simple.
Cyrano
March 2019
Pour simplifier, peut-être déjà commencer par le changement de variable $t = ax.$
etanche
March 2019
Le changement de variable conduit à intégrale de 1 à +oo de
f(ax)/\sqrt{x^2-1} dx
et comment exploiter cette nouvelle expression
merci
Pablo_de_retour
March 2019
Bonjour,
A votre place, j'aurais procédé comme suit :
$ \forall t > 0 \ , \forall a \in ] 0 , t [ $ :
$$ \Bigg| \int_{a}^{\infty} \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \sup_{a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| $$
Par conséquent :
$$ \sup_{a>0} \Bigg| \int_{a}^{\infty} \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \sup_{a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| $$
Puis, pour calculer, $ \displaystyle \sup_{a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| $, je trace le tableau de variation de la fonction : $ a \to \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} $ sur : $ ] 0 , t [ $ pour tout $ t>0 $, et j'en déduis son expression.
Le reste, maintenant, est facile à accomplir. Non ?
Pablo_de_retour
March 2019
Ou bien comme le dis, tu appliques d'abord, ton changement de variables, puis tu suis la meme démarche de mon poste précédent. Ce sera plus facile comme ça.
etanche
March 2019
@pablo
y a des fautes dans ce que tu as écrit , merci quand .
Math Coss
March 2019
Voici l'intégrale en fonction de $a$, si ça peut donner des idées.
tmp_smK9CA.png
13.9K
Pablo_de_retour
March 2019
Peux tu situer où se trouve l'erreur dans ce que j'ai dit
@etanche
?.
Edit
:
Pardon, je corrige :
$ \forall t > 0 \ , \forall a \in ] 0 , t [ $ :
$$ \Bigg| \int_{a}^{\infty} \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \sup_{t>a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \sup_{a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| $$
Par conséquent :
$$ \sup_{a>0} \Bigg| \int_{a}^{\infty} \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \sup_{a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| $$
Puis, pour calculer, $ \displaystyle \sup_{a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| $, je trace le tableau de variation de la fonction : $ a \to \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} $ sur : $ ] 0 , t [ $ pour tout $ t>0 $, et j'en déduis son expression.
Cyrano
March 2019
Ton "par conséquent" est faux.
Pablo_de_retour
March 2019
Pourquoi ?
Edit
:
Pardon, j'ai corrigé. Regarde maintenant.
Cyrano
March 2019
Toujours faux. Essaie de trouver par toi-même pourquoi en relisant la définition d'une sup.
Pablo_de_retour
March 2019
Je ne sais pas où se trouve l'erreur.
etanche
March 2019
D'après le post math Coss
faudrait voir que $\int_{0}^{\infty} \frac{f(t)}{t}dt$ en valeur absolue
est plus petit que 0,7
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Réponses
J'avais noté f(a) la fonction dans la valeur absolue
le calcul de la dérivée se fait mais l'étude du signe n'est pas simple.
f(ax)/\sqrt{x^2-1} dx
et comment exploiter cette nouvelle expression
merci
A votre place, j'aurais procédé comme suit :
$ \forall t > 0 \ , \forall a \in ] 0 , t [ $ :
$$ \Bigg| \int_{a}^{\infty} \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \sup_{a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| $$
Par conséquent :
$$ \sup_{a>0} \Bigg| \int_{a}^{\infty} \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \sup_{a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| $$
Puis, pour calculer, $ \displaystyle \sup_{a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| $, je trace le tableau de variation de la fonction : $ a \to \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} $ sur : $ ] 0 , t [ $ pour tout $ t>0 $, et j'en déduis son expression.
Le reste, maintenant, est facile à accomplir. Non ?
Edit :
Pardon, je corrige :
$ \forall t > 0 \ , \forall a \in ] 0 , t [ $ :
$$ \Bigg| \int_{a}^{\infty} \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \sup_{t>a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \sup_{a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| $$
Par conséquent :
$$ \sup_{a>0} \Bigg| \int_{a}^{\infty} \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| \leq \int_{a}^{\infty} \sup_{a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| $$
Puis, pour calculer, $ \displaystyle \sup_{a>0} \Bigg| \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} \Bigg| $, je trace le tableau de variation de la fonction : $ a \to \frac{f(t)}{\sqrt{t^2-a^2}} $ sur : $ ] 0 , t [ $ pour tout $ t>0 $, et j'en déduis son expression.
Edit :
Pardon, j'ai corrigé. Regarde maintenant.
faudrait voir que $\int_{0}^{\infty} \frac{f(t)}{t}dt$ en valeur absolue
est plus petit que 0,7