Limite
Bonjour,
est-ce que la limite de $f(x)=\dfrac x{\sin(1/x)}$ en 0 est 0 ou est-ce qu'il n'y a pas de limite en 0 ?
Cela tend "globalement" vers 0 mais dès que $x=1/k\pi$ (avec $k$ dans $\Z$) ça diverge... du coup je suis perplexe !
Merci.
@AD: c'est quoi Pi en Latex ?
[Tout simplement \pi. AD]
est-ce que la limite de $f(x)=\dfrac x{\sin(1/x)}$ en 0 est 0 ou est-ce qu'il n'y a pas de limite en 0 ?
Cela tend "globalement" vers 0 mais dès que $x=1/k\pi$ (avec $k$ dans $\Z$) ça diverge... du coup je suis perplexe !
Merci.
@AD: c'est quoi Pi en Latex ?
[Tout simplement \pi. AD]
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Réponses
Par contre ça ne tend évidemment pas "globalement vers 0", tu t'es laissé berner par des représentations graphiques fumeuses.
Ben ce que je voulais dire c'est que hormis ces points " pathologiques" la fonction tend vers 0, pas besoin de représentation graphique !
Par contre je vais revoir la définition de "point adhérent au domaine de définition"...
"elle n'a pas de limite en 0 " vs "cela n'a pas de sens de demander sa limite en 0 " : je vais méditer là dessus sérieusement aussi 8-)
Si par contre tu veux dire que tu exclues un intervalle de longueur fixe autour de ces points pathologiques alors ça n'a plus de sens, puisque la fonction ne serait plus définie au voisinage de $0$.
Donc on n'a pas le droit de prolonger f par continuité non plus en posant f(0)=0 comme par exemple avec $g(x)=x^2\sin(1/x)$ ?
Par exemple (modulo les coquilles, pas le temps de vérifier les détails) :
Soit $x_n = \dfrac{1}{n\pi + \dfrac{1}{n^2}} \to 0$. Alors $x_n \neq \dfrac{1}{k\pi}$ pour tout $k$ et $f(x_n) \to +\infty$. Par ailleurs, soit $y_n = \dfrac{2}{n\pi} \to 0$, alors $y_n \neq \dfrac{1}{k\pi}$ pour tout $k$ et $f(y_n) \to 0$. Donc $f$ ne peut avoir de limite (finie ou infinie) en $0$ (puisque la limite, si elle existe, se doit d'être unique).
Bien sûr, il faut justifier la limite de $f(x_n)$ ...
Et évidemment, si $f$ n'a pas de limite finie en $0$ on ne peut pas la prolonger par continuité, c'est la condition nécessaire et suffisante pour prolonger par continuité une fonction.
La restriction de la définition aux points adhérents sert juste à s'assurer de l'unicité de la limite. La définition n'a aucun intérêt si le point considéré n'est pas adhérent, puisqu'alors la fonction aurait tout réel comme limite (puisque $\{x\in D\mid d(a,x) < r\}$ sera vide pour un certain $r > 0$ si on regarde la limite en $a$ où $a$ est non adhérent au domaine $D$).
Mais merci je crois avoir compris l'idée.
Peut-on modifier la fonction (enfin, pas trop 8-) ) pour qu'elle ait une limite en 0 ?
$f(x)=\frac x{\sin(x)}$ ça doit marcher... ?
Pour le reste, si tu trouves trop difficile ce que je dis, alors il faut d'urgence reprendre les bases. Je vais même plus loin, si tu ne comprends pas ce que je dis, c'est que tu ne sais pas définir la notion de limite dans le cadre que tu poses, du coup quel est l'intérêt de ta question si tu ne sais pas de quoi tu parles ? Il faut connaître la définition de limite pour que ta question ait un sens.
Je l'ai déjà dit sur ce forum, il m'arrive de me poser des questions bien au-dessus de mon niveau (pourquoi ? ça j'en sais rien, ça ne vous arrive jamais à vous faut croire ?).
Mais l'important est que vos réponses m'aident à progresser...non ?
Et je connais la définition de limite, mais j'ai du mal à mobiliser mes connaissances, ça c'est vrai !
Dans votre "modification" c'est quand même une limite très connue ;-)
Du coup, sois tu as vu une définition où le point $a$ où on calcule la limite doit appartenir à l’adhérence du domaine, et je ne dis rien de plus donc il n'y a rien à comprendre dans ce que je dis, soit tu as vu la définition où la fonction doit être définie sur un intervalle et $a$ doit appartenir à l'intervalle ou à son bord, et dans ce cas ta question n'est pas dans ce cadre.
@skyffer: moi j'adore ta question :-D :-D y en a qui disent que les maths c'est de la poésie...soit !
Bonsoir,
Pour n=2 , on a $y_2 = \dfrac{2}{2 \pi}$ et il existe k=1 tel que $ y_2=\dfrac{1}{k \pi}$
Je ne comprends pas bien non plus... ??
Par exemple, peut-être faut-il prendre $\dfrac{2}{(2n+1)\pi}$ :-)
$f(z)=\frac{z}{\sin(1/z)}$ est analytique sur $\mathbb{C}^* - \{ \frac{1}{\pi n},n \mathbb{Z}^*\}$ et elle a des pôles en chaque $\frac{1}{\pi n},n \mathbb{Z}^*$ donc c'est immédiat que $\lim_{z\to 0}f(z)$ diverge.
$f$ est méromorphe sur $\mathbb{C}^*$ et $z=0$ est une singularité essentielle, c'est à dire un point isolé où elle n'est pas méromorphe mais autour duquel elle est méromorphe.
[Lis-tu les réponses que l'on te fait ! :-X AD] http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1783206,1783206#msg-1783206
@AD: c'est quoi Pi en Latex ?
[Tout simplement \pi. AD]
[Tu demandes comment écrire pi en LaTeX, je te l'indique et tu n'en fait aucun cas, continuant à l'écrire n'importe comment ! AD]
En effet, pendant que tu corrigeais ton message, je faisais moi-même les corrections. Nos corrections se sont croisées.
Accepte mes excuses, et dorénavant écris directement \pi en LaTeX. ;-)
AD
@AD :excuses acceptées ! les matheux sont des gens honnêtes (tu)