Une égalité

Non.

Une démonstration serait fausse, puisque au voisinage de 0 le premier membre est proche de 1 le second de -1.

D'où sors-tu ça ?

C'est même plus grave que ça, cette égalité ne peut être vérifiée en un nombre algébrique, et il y en a une pelletée dans $]\pi, 2\pi[$. On peut même s'amuser à calculer la dérivée de la différence : $$\frac{\cos(x)x-\sin(x)}{x^2} - \frac{x}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{(1+x^2)^{3/2}(\cos(x)x-\sin(x))-x^3}{x^2(1+x^2)^{3/2}}$$ et on vérifie par exemple sans trop de difficulté que le numérateur est strictement positif pour $x \in ]\frac{3\pi}{2}, 2\pi[$.

Qui a bien pu te laisser penser ça ?