Méthode de variation des constantes

Cho
Cho
dans Analyse
Bonjour,
Peut-on utiliser la méthode de variation des constantes en dimension 2 ?
Par exemple, on considère l'équation $$\frac{d^2 u}{d x^2}(x,y)+\frac{d^2 u}{d y^2}(x,y)=f(x,y)
$$ La solution $u$ est somme de la solution de l'équation homogène et la solution particulière
En utilisant la séparation des variables $u(x,y)=X(x)Y(y)$ on trouve la solution de l'équation homogène $u_h(x,y)=(C_1\cos(\alpha x)+C_2\sin(\alpha x))(C_3e^{\alpha y}+C_4e^{-\alpha y})$
Comment trouver maintenant la solution particulière ? Peut-on utiliser la méthode de variation des constantes et comment ?
Merci de votre aide.

Réponses

  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    Il n'est jamais interdit d'utiliser une méthode, simplement au pire elle ne donne pas de résultat probant.

    Ici, es-tu sûr de ton ensemble de solutions pour l'équation homogène ?
  • Cho
    Cho
    Merci Frédéric Bosio, pour trouver cette solution, on doit remplacer $u(x,y)$ dans l'équation $\frac{d^2 u}{d x^2}(x,y)+\frac{d^2 u}{d y^2}(x,y)=0$ par $X(x)Y(y)$
    on obtient $X''Y+XY''=0$ puis divisons par $XY$ on aura $\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=C$
    on doit donc résoudre les deux équations $X''=CX$ et $Y''=-CY$, on suppose que $C=-\alpha^2$
    on trouve $X(x)=C_1\cos(\alpha x)+C_2\sin(\alpha y)$ et $Y(y)=C_3e^{\alpha y}+C_4e^{-\alpha y}$
    La difficulté est de trouver les valeurs des $C_i$ avec $C_1=C_1(x), C_2=C_2(x), C_3=C_3(y)$ et $C_4=C_4(y)$
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @cho : l’équation homogène est symétrique en $x$ et $y$ : pourquoi/ comment obtenir une solution qui ne l’est pas ? Essaie encore et garde une écriture exponentielle (complexe), c’est peut-être plus facile.
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