Équivalent d'une intégrale à paramètre

Soit $n\geq 1.$ Procède au changement de variables $u=t^{n}$ i.e. $t=u^{\frac{1}{n}};du=\frac{1}{n}u^{\frac{1}{n}-1}$ pour avoir
$$I_{n}=\frac{1}{n^{2}}\int_{0}^{1}\frac{u^{\frac{2}{n}}ln(u)}{ 1-u^{\frac{2}{n}} }du.$$
Tu peux conclure en appliquant le théorème de convergence dominée.
Remarque : ce changement de variables est licite car l'intégrale initiale est absolument convergente.

Tout a été écrit $$f(x) = \frac{1}{x^2} \int_1^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2} \,dt.$$ Pour tout $x > 0$ et tout $t \geq 1$, on a $$\frac{e^{-t^2}}{t^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2} \leq \frac{e^{-t^2}}{t^2},$$ fonction de $t$ intégrable sur $[1, +\infty[$. Par le théorème de convergence dominée on a donc $$\int_1^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2} \,dt \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} \int_1^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2}.$$ Finalement $$f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{x^2} \int_1^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2}.$$

Si la question est juste de donner un équivalent tu peux t'arrêter là, la valeur de l'intégrale n'importe pas, à part le fait qu'elle est non nulle bien sûr.

Une petite IPP donne $$\int_1^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2} = \left[- \frac{e^{-t^2}}{t} \right]^{+\infty}_1 - \int_1^{+\infty} 2 e^{-t^2} \,dt = e^{-1} - 2\int_1^{+\infty} e^{-t^2} \,dt.$$

À ma connaissance cette dernière intégrale n'a pas de valeur connue en fonction des fonctions usuelles.

Oui merci, je corrige.