Séries de Fourier
Bonsoir à tous !
Je suis actuellement en train de travailler un exercice, où l'énoncé est le suivant;
On étudie une fonction 2pi-périodique sur [-pi;pi] définie par f(x)=x².
J'ai pu tracer facilement le graphe de cette fonction ainsi que calculer son coefficient trigonométrique.
Là où je bloque c'est pour étudier la convergence.
Je sais qu'il faut utiliser le théorème de Dirichlet, mais je me retrouve bloqué avec une somme dans laquelle il y a encore du (-1)^n et du 1/n² :
(Désolé je ne sais pas utiliser les codes que je vois partout sur le forum pour rendre tout ce que je dis lisible ...)
En espérant que quelqu'un pourra m'aider malgré la non-lisibilité de ce que j'écris !
Je suis actuellement en train de travailler un exercice, où l'énoncé est le suivant;
On étudie une fonction 2pi-périodique sur [-pi;pi] définie par f(x)=x².
J'ai pu tracer facilement le graphe de cette fonction ainsi que calculer son coefficient trigonométrique.
Là où je bloque c'est pour étudier la convergence.
Je sais qu'il faut utiliser le théorème de Dirichlet, mais je me retrouve bloqué avec une somme dans laquelle il y a encore du (-1)^n et du 1/n² :
(Désolé je ne sais pas utiliser les codes que je vois partout sur le forum pour rendre tout ce que je dis lisible ...)
En espérant que quelqu'un pourra m'aider malgré la non-lisibilité de ce que j'écris !
Réponses
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Que te dit le théorème de Dirichlet ? Quelle convergence veux-tu démontrer ? Il va falloir être plus précis que ça !
-
Bonjour.
A ma connaissance, dans le théorème de Dirichlet, il n'y a pas de somme ou de coefficients. Le théorème évoque des conditions sur la fonction pour qu'il y ait convergence de la série de Fourier.
Mélangerais-tu avec autre chose (Parseval ?) ?
Cordialement. -
Ah oui effectivement pardon ! J'ai confondu avec le théorème de Parseval qui me permet d'avoir a0/2 + ma somme !
(Encore désolé si je pouvais écrire en LateX ou autre j'aurais vraiment pu rendre ça lisible)
En utilisant Parseval, j'obtiens que :
f(x) = pi²/3 + Somme de [(4*(-1)^n) / n² ] * cos(nx)
Et c'est ici que je bloque ! -
Ce que tu écris n'a rien à voir avec la formule de Parseval, qui lie $$\sum_{n \geq 0} (a_n^2+b_n^2)$$ à $$\int_{- \pi}^{\pi} |f(x)|^2 \,dx.$$
-
D'accord et bien c'est seulement la somme partielle de Fourier que je souhaite utiliser
-
Bonjour !
Si tu as obtenu les coefficients de Fourier (non vérifiés) que tu cites : $\dfrac{4(-1)^n}{n^2}$ je ne vois pas où est le problème !
La série numérique des $\dfrac{4(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$ est absolument convergente et la série de Fourier normalement convergente sur $\R$.
Que veux-tu obtenir exactement ? -
Cette cette convergence que j'aimerais montrer !
Car ma question est d'étudier la convergence de cette série de Fourier ! -
Si tu disposes du théorème de Dirichlet, c'est quasiment fait (si tu as bien vu comment est la fonction f).
Si tu veux le démontrer directement sur la série, majore la valeur absolue de chaque terme pour prouver la convergence normale.
Cordialement. -
Donc comme ma fonction est continue, de classe C1 par morceaux et 2pi-periodique alors elle converge normalement vers f(x)=x^2, c'est tout ?
-
Ben ...
appliquer un théorème n'est-il pas suffisant pour accepter sa conclusion ?
Crois-tu encore que ce qui est simple n'est pas mathématique ? -
C'est vrai !
Merci beaucoup
-
Bonsoir à tous et à toutes !
J'ai un exercice à faire sur lequel je bugue à une petite question !
Soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ la fonction $2\pi$-périodique définie sur $ [-\pi;\pi]$ par $f(x)=x^2$
1) Calculer les coefficient de Fourier trigonométriques de $f$ :
Je trouve $ a_{n}(f)= (\frac{4}{n^2}) * (-1)^n$.
2) Etudier la convergence de la série de Fourier de $f$.
Je trouve $\frac{a_{0}}{2} = \frac{\pi^2}{3} $
Et donc $f(x) = \frac{\pi^2}{3} + \underset{i\geq1}{\sum} (\frac{4}{n^2}) * (-1)^n * \cos(nx) $
Ma série est donc normalement convergente.
3) Déduire les sommes de :
a) $\sum_{n\geq1} (\frac{1}{n^2}) (-1)^n \cos(nx) $
b) $\sum_{n\geq1} (\frac{(-1)^n}{n^2})$
c) $\sum_{n\geq1} (\frac{1}{n^2})$
Je bloque à cette question ! Je ne sais pas d'où partir. Faut-il connaître l'équivalent des DSE (Développements en Série Entière) pour faire cette question ?
Merci d'avance ! -
Tu as déjà posés ces questions dans un autre fil. A quoi sert qu'on réponde, si tu oublies immédiatement ce qu'on t'a dit ??
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J'ai seulement démandé pour la série de Fourier mais pas pour le reste
-
Non justement c’est un des intérêts des séries de Fourier! Il faut évaluer la fonction en un réel bien choisi, plus deux trois bricoles
-
Les valeurs intéressantes seraient 0, $-\pi$ et $\pi$ ?
Et je n'arrive pas comprendre pourquoi en évaluant la fonction en certains points particuliers, on obtiendrait un résultat qui vaut pour tous les x ? -
C’est vrai pour la première : pas besoin d’évaluer, juste une petite manipulation. Pour les autres, j’ai dit ce que j’avais à dire ;-)
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Bonjour!
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