Convergence dans $L^p$

Khatbane Med
Khatbane Med
dans Analyse
Bonjour.

Soient $\Omega$ un ouvert de $\R^n$ de mesure finie et $(g_n)_n$ une suite d'éléments de $L^p(\Omega)$ convergente. Si $f$ est une fonction réelle continue.
telle que: $$|f(x)| \leqslant a|x|+b;$$
avec $a,b>0$.
je voudrais montrer que la suite $(f \circ g_n)_n$ est convergente dans $L^p(\Omega)$.
Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    "La" condition ? Pourquoi veux-tu qu'il n'y en ait qu'une ? Si $f$ est la fonction nulle ça fonctionne par exemple. Où si chaque $g_n$ est constante égale à $0$ et si $f(0)=0$ par exemple.
  • Khatbane Med
    Khatbane Med
    excusez-moi, je vais le corriger pour préciser ce que je veux.
  • O.G.
    O.G.
    Bonsoir

    1. Faire le cas particulier : supposer que $(g_n)$ converge presque partout, utiliser le théorème de convergence dominée de Lebesgue pour $(f\circ g_n)$.

    2. Cas général (on utilise 1. à une sous-suite près) : montrer que de toute sous-suite de $(f\circ g_n)$ on peut extraire une sous-suite qui converge.

    3. Conclure.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 36

AmadouDémonstratorEmmanuelGenJLTJean-LouisMédiat_SuprèmeSncaillouxnicolas.patroisswayvlad69 +25 Invités