Série double
dans Analyse
Bonjour
Peut-on trouver une formule compacte de la série double :
\begin{align*}
\sum_{i,j\geq 0} \frac{x^i y^j}{(i+j)!}&=\sum_{p\geq 0}\sum_{i+j=p}\frac{x^i y^j}{p!}\\
&=\sum_{p\geq 0}\frac{y^p+xy^{p-1}+\cdots+x^{p-1}y+x^p }{p!} \\
&=e^y+\frac{x}{y}e^y+(\frac{x}{y})^2e^y+\cdots+(\frac{y}{x})^2e^x+\frac{y}{x}e^x+e^x.
\end{align*} Merci.
Peut-on trouver une formule compacte de la série double :
\begin{align*}
\sum_{i,j\geq 0} \frac{x^i y^j}{(i+j)!}&=\sum_{p\geq 0}\sum_{i+j=p}\frac{x^i y^j}{p!}\\
&=\sum_{p\geq 0}\frac{y^p+xy^{p-1}+\cdots+x^{p-1}y+x^p }{p!} \\
&=e^y+\frac{x}{y}e^y+(\frac{x}{y})^2e^y+\cdots+(\frac{y}{x})^2e^x+\frac{y}{x}e^x+e^x.
\end{align*} Merci.
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Réponses
ça donne $\dfrac{e^x x-e^y y}{x-y}$
Dans ta 3ème expression tu multiplies par (x-y) pour simplifier le numérateur.
Ah non en partant de la troisième ligne c'est bon :-)