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Convergence faible et compacité

Envoyé par Romeissa 
Convergence faible et compacité
l’an passé
Bonjour,

Ma question est le suivant:
J'ai:

$ \parallel \nabla m_n \parallel_{L^{\infty}(\mathbb{R}^+, L^2(\Omega))}\leq C$

$ \parallel \frac{\partial m_n}{\partial z} \parallel_{L^{\infty}(\mathbb{R}^+, L^2(\Omega))}\leq C n $

$ \parallel \frac{\partial m_n}{\partial t} \parallel_{L^2(\mathbb{R}^+\times\Omega)}\leq C$

$ \parallel m_{3,n} \parallel_{L^{\infty}(\mathbb{R}^+, L^2(\Omega))}\leq C \sqrt{n}$

Donc on peut extraire une sous suite $(m_n)$ t.q:

$m_n \to m $ faible* dans $L^{\infty}(\mathbb{R}^+, H^1(\Omega))$

$\partial_z m_n \to 0 $ dans $L^{\infty}(\mathbb{R}^+, L^2(\Omega))$

$m_{3,n} \to 0$ dans $L^{\infty}(\mathbb{R}^+, L^2(\Omega))$

$\partial_t m_n \to \partial_t m$ dans $ L^2([0,T],\times\Omega)$ pour tout $T>0$


Pour quoi il vient que:

$m_n \to m $ dans $L^{2}([0,T]\times \Omega)$ pour tout $T>0$
et aussi dans $L^{p}([0,T]\times \Omega)$ pour tout $p \geq 1$.
et $m_n(0) \to m(0)$ faible dans $(L^2(\Omega))^3$
et $ \partial_t m_n,3 \to 0 $ faible dans $L^2([0,T]\times \Omega)$ pour tout $T>0$

$\nabla m_{n,3} \to 0$ faible dans $L^2([0,T] \times \Omega) $ pour tout $T>0$.
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