Un fait connu?
dans Analyse
Bonjour à tous,
Saviez-vous que si $s$ est une bijection de $\N$ sur $\Q$, alors tout réel $a$ est valeur d’adhérence de la suite $(s(n))_{n\in \N}$? J’ai trouvé ça joli.
Au plaisir de vous lire,
B&B
Saviez-vous que si $s$ est une bijection de $\N$ sur $\Q$, alors tout réel $a$ est valeur d’adhérence de la suite $(s(n))_{n\in \N}$? J’ai trouvé ça joli.
Au plaisir de vous lire,
B&B
Réponses
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$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$
Les valeurs de la suite parcourent $\mathbb{Q}$.
PS:
Il suffit que l'application $s$ soit surjective et on a le même résultat sauf erreur. -
Oui c’est vrai mais je trouvais que c’était une jolie manière de le présenter. Cela donne une idée de la difficulté d’expliciter une bijection
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On peut, me semble-t-il, au moins expliciter aisément une application $s$, surjective, de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{Q}\cup \{\infty\}$
Tu dessines un repère orthonormé et tu ne considères que les points à coordonnées entières.
On tourne (dans le sens que tu veux) en spirale autour de l'origine si au $n$-ième pas on atteint le point de coordonnées $(x,y)$ si $y=0$ $s(n)=\infty$ autrement $s(n)=\dfrac{x}{y}$. La spirale va passer par tous les points à coordonnées entières. -
Il y aussi le procédé en diagonale, on part de $(0,0)$, puis on va en $(1,0)$, puis en $(0,1)$. Puis à la diagonale $n$ : on part de $(n,0)$ jusqu’en $(0,n)$, en passant par tous les points $(n-k,k)$. Tu vois ce que je veux dire?
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Oui, je vois ce que tu veux dire. On considère toutes les droites parallèles à la droite $(AB)$ avec $A$ de coordonnées $(1,0)$ et $B$ de coordonnées $(0,1)$ dans le quart de plan $x\geq 0,y\geq 0$ on considère la "trace" de ces droites.
Ces "traces" sont des segments dont les extrémités sont des points qui sont sur l'axe de $x$ ou sur l'axe des $y$.
On se donne un sens de parcours de ces segments et on les parcourt un à un dans ce sens.
PS:
On s'intéresse qu'aux droites qui passent par des points à coordonnées entières. -
@FdP : Ce que tu dis dans ton premier message ne suffit pas. "Valeur d'adhérence de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$" ne veut pas dire "point adhérent à $\{u_n \ \vert \ n \in \mathbb{N}\}$".
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Georges:
Alors la propriété énoncée dès le départ est fausse?
les $s(n)$ vont bien parcourir l'ensemble de tous les rationnels, mais comment on extrait une sous-suite qui a pour valeur d'adhérence un nombre réel donné à l'avance sans rien savoir de plus sur $s$? -
Non, non, c'est vrai ! Pour toute partie finie $F$ de $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q} \setminus F$ est dense dans $\mathbb{R}$ aussi. Donc, si $x$ est un réel, on pourra quand même trouver les $s(n)$ aussi proches de $x$ qu'on veut avec $n$ aussi grand qu'on veut.
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Georges Abitbol:
Alors je ne vois pas le problème qu'on ne suppose $s$ que surjective.
Par ailleurs, si je me souviens bien de la définition d'une valeur d'adhérence d'une suite $(u_n)$ (dans un espace normé complet) C'est la limite d'une sous-suite extraite convergente de la suite $(u_n)$.
Si ma définition est correcte il n'est pas immédiat me semble-t-il qu'en ne supposant rien de plus sur l'application $s$ qu'on puisse arriver à extraire une sous-suite convergente de la suite $(s(n))$ qui converge vers un réel donné à l'avance. -
On a même une suite récurrente explicite qui énumère tous les rationnels $>0$ :
$x_0=1$, puis, pour tout $n$, $u_{n+1}=\frac1{2E(u_n)+1-u_n}$, où $E(\cdot)$ représente la partie entière. Les premières valeurs sont
$$1, 1/2, 2, 1/3, 3/2, 2/3, 3, 1/4, 4/3, \cdots$$
Pour ceux que cela intéresse, je joins un énoncé d'un ancien sujet d'option info qui explique le pourquoi du comment -- cela commence à la question 4.
Cordialement, j__j -
Le résultat reste vrai si $s$ est une surjection de $\mathbb N$ sur $\mathbb Q$ et découle rapidement de la densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$.
C'est quand même amusant et un peu contre-intuitif au premier abord de passer de "pour tout réel, il existe une suite de rationnels convergeant vers ce réel" à "pour toute suite (surjective), pour tout réel, il existe une sous-suite convergeant vers ce réel". -
Une définition possible d'une valeur d'adhérence est bien ce que j'ai écrit plus haut semble-t-il.
Par exemple , on prend le réel $\sqrt{2}$ cela ne me semble pas évident de construire une sous-suite de la suite $(s(n))$ qui converge vers $\sqrt{2}$ (ne connaissant rien à priori sur $s$ hormis que c'est une bijection de l'ensemble des entiers naturels sur l'ensemble des nombres rationnels). -
Soit $s:\N\to\Q$ une bijection, et $x\in\R$.
À quelle condition sur $x$ existe-t-il $\phi : \N \to\N$ strictement croissante telle que $|x - s \circ \phi|$ soit strictement décroissante ?
Montrer que dans ce cas, il existe une unique $\phi$ comme-ci dessus inférieure à toutes les autres pour l'ordre lexicographique. -
concernant une bijection possible entre l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des rationnels positifs:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Arbre_de_Stern-Brocot
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